第四章 可测函数

第四章可测函数§1可测函数及其性质§2叶果洛夫定理§3可测函数的构造§4依测度收敛要点：可测函数是利用勒贝格可测集来刻画的，勒贝格可测函数是勒贝格积分的基本对象。记号：一个定义在上的实函数确定了E的一组子集这里取遍一切有限实数，反之，本身也由E的这组子集而完全确定。nRE)(xf|,()EfaxxEfxaa)(xf类似地，有,EfaEafb,Efa,Efa§1可测函数及其性质（4）都可测。（3）都可测。（2）都可测。设是定义在可测集E上的实函数，对于任何有限实数1、可测函数定义设是定义在可测集的实函数，如果对于任何有限实数，都是可测集，则称为定义在E上的可测函数。nRE)(xfa)(xfEfa不是一个函数值，而是一个集合在E上可测)(xf（1）都可测。)(xf,()abab可测函数等价定义EfaEafbEfaEfa推论：设在E上可测，则总可测，不论是有限实数或a)(xfEfa即：可测集E上的常值函数是可测函数。例题2：勒贝格零测集上所定义的函数必是可测函数。问题：连续函数是可测函数吗？2、点集上的连续函数定义定义在上的实函数，如果有限，而且对于的任一邻域V，存在的某邻域U，使得，即只要且时，便有，则在连续。nRE)(xf00()yfx()fx()fxV0x0yfUEVxExU0xE如果在E中每一点都连续，则称在E上连续。()fx)(xf例题1：区间[a,b]上的连续函数与单调函数都是是可测函数。注：这个定义并不要求E是可测集；当E是某个区间时，它与数学分析中连续的概念相一致。定理2：可测集上的连续函数是可测函数。nRE定理3：（1）设是可测集E上的可测函数，而为E的可测子集，则看作定义在上的函数时，它是上的可测函数；)(xf1E1EE1E)(xf（2）设定义在有限个可测集的并集上，且在每个上都可测，则在E上也可测。)(xf(1,2,...,)iEis1siiEE)(xf)(xfiE3、可测函数基本性质注：并不是可测集的所有子集都是可测的。引理：设与为E上的可测函数，则与都是可测集。)(xf()gx[]Efg[]Efg定理4：设与为在E上可测，则函数集中在零测集上）可测集。)(xf()gx|()|,fx()(),fxgx1(),fx()(),(()0fxgxgx定理5：设是E上一列（或有限个）可测函数，则与都在E上可测。()nfx()inf()nnxfx()sup()nnxfx定理6：设是E上一列可测函数，则也在E上可测，特别当存在时，它也在可测。()nfx()lim()nnGxfx()lim()nnFxfx()lim()nnFxfx可测函数列的极限4、简单函数及其性质（1）定义：设的定义域E可分为有限个互不相交的可测集即，使在每个上都等于某常数，则称为简单函数。)(xf1,...,sEE)(xf1siiEEiEc)(xf例如：在区间[0，1]上的狄利克雷函数是可测的非连续函数。结论：任何简单函数都是可测的。定理7：设在E上可测，则总可以表示成一列简单函数的极限函数，而且还可办到)(xf（2）简单函数与可测函数的关系)(xf()nx()lim()nnfxx12()()xx（3）可得可测函数等价定义函数在E上可测的充要条件是总可以表示成一列简单函数的极限函数，其中)(xf)(xf12()()xxn5、几乎处处成立注：1°简单函数仅取有限个实数值，且每个值是在一个可测子集上取的。2°简单函数列的极限函数不一定是简单函数，甚至某些点处极限函数可能为，然而简单函数一定是可测函数。设是一个与集合E的点有关的命题，如果存在E的子集M，适合，使得在E\M上恒成立，即E\E[成立]=零测度集，则我们称在E上几乎处处成立，或说a.e.于E成立。x0mM即：如果一个命题S在集E上除了某个零测度子集外处处成立，是命题不成立的点总包含在某个零测集当中，则说命题S在E上几乎处处成立。例题3（1）与在E上几乎处处相等，指：[]0mMfg)(xf()gx（2）在E上几乎处处有限，指：[||]0mMf)(xf（3）著名的勒贝格微分定理：若是[a,b]上的单调函数，则在[a,b]上几乎处处可导。)(xf)(xf（4）[0,1]上的狄利克雷函数a.e.于[0,1]()0Dx性质：（1）a.e.于E且a.e.于E，则或a.e.于E，且a.e.于E.121212（2）f和g是定义在可测集E上几乎处处相等的函数，如果f是E的可测函数，则g也是E上的可测函数。设是定义于E上的函数列§2叶果洛夫定理1、收敛、几乎处处收敛、一致收敛收敛：若存在E上的函数，对于，则称函数列在E上收敛，为的极限函数。nffxEnfflim()(),nnfxfxnf几乎处处收敛：若存在，，在上收敛于，则称在E上几乎处处收敛于，记为fnfnff10mE1EE1\EE..nffaeE于一致收敛：若对于，存在自然数N，对及都有，则称函数列在E上一致收敛于。,nmNxE()()nmfxfxnff02、几乎一致收敛（叶果洛夫定理）设，是E上可测函数列，是E上几乎处处有限的函数，在E上几乎处处收敛于，则对任意，存在子集，使在上一致收敛，且则称在E上几乎一致收敛于，记为mEfnf0fnfEEnfE(\)mEEfnf..nffauE于注：1°”一致收敛”强于“收敛”，“收敛”强于“几乎处处收敛”2°叶果洛夫定理得逆命题就是若，则3°叶果洛夫定理揭示了可测函数列几乎处处收敛与一致收敛的关系，根据这个定理，对于任意几乎处处收敛的可测函数列，都可在E的一个子集上当作一致收敛的函数列来处理。..nffauE于..nffaeE于E(0,(\))mEE§3可测函数的构造鲁金定理设是E上几乎处处有限的可测函数，则对任意，存在闭子集，使在上是连续函数，且简言之，在E上a.e.有限的可测函数是“基本上连续”的函数。()fxFEF(\)mEF注：（1）可测集上的连续函数一定是可测函数，反之，一般的可测函数可以说是基本上连续的函数，该定理揭示了可测函数与连续函数的关系。（2）若在E上可测，，在E上除去一个测度小于的子集后，函数连续，这样就将可测函数问题转化为连续函数问题。0()fx0()fx§4依测度收敛1、依测度收敛设是上的一列a.e.有限的可测函数，若有E上a.e.有限的可测函数，满足下列关系：nf()fxnER对任意有，则称函数列依测度收敛于，记为lim[||]0nnmEff0()fxnf()(),nfxfx0,即,:NnN,nmEff则0,()(),nfxfx文字描述：如果事先给定一个误差，不论这个有多么小，使得的点虽然可能很多，但这些点的全体的测度随着无限增大而趋向于0。0nffxn2、勒贝格收敛定理（1）设E可测，（2）是E上a.e.有限的可测函数列；（3）是E上a.e.收敛于，且a.e.于E；nf|()|fxnff则()(),nfxfx定理说明：依测度收敛弱于几乎处处收敛。mE3、黎斯定理..,nffauE于则()(),nfxfx设在E上测度收敛于，则存在子列在E上几乎处处收敛于nffinff4、测度收敛的唯一性()()...fxgxauE则于()(),()()nnfxfxfxgx设，黎斯条件下..nffaeE于..nffauE于nffE于mE叶果洛夫条件下黎斯条件下的子列在叶果洛夫条件下