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主页一轮复习讲义几何证明选讲主页1．平行截割定理(1)平行线等分线段定理如果一组在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也．(2)平行线分线段成比例定理两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段成．要点梳理忆一忆知识要点平行线相等比例主页2．相似三角形的判定与性质(1)相似三角形的判定定理①两角对应的两个三角形．②两边对应成且夹角的两个三角形；③三边对应的两个三角形；(2)相似三角形的性质定理①相似三角形的对应线段的比等于．②相似三角形周长的比等于．③相似三角形面积的比等于．忆一忆知识要点相似相等比例相等相似比例相似相似比相似比相似比的平方要点梳理主页3．直角三角形射影定理直角三角形一条直角边的平方等于，斜边上的高的平方等于．4．圆中有关的定理(1)圆周角定理：圆周角的度数等于其所对弧的度数的．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于的度数．忆一忆知识要点该直角边在斜边上的射影与斜边的乘积两条直角边在斜边上的射影的乘积一半它所对弧要点梳理主页(3)切线的判定与性质定理①切线的判定定理过半径外端且与这条半径的直线是圆的切线．②切线的性质定理圆的切线于经过切点的半径．(4)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，切线长．(5)弦切角定理弦切角的度数等于其所夹弧的度数的．忆一忆知识要点垂直垂直相等一半要点梳理主页(6)相交弦定理圆的两条相交弦，每条弦被交点分成的两条线段长的积.(7)割线定理从圆外一点引圆的两条割线，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(8)切割线定理从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的．忆一忆知识要点相等等比中项要点梳理主页(9)圆内接四边形的性质与判定定理①圆内接四边形判定定理(ⅰ)如果四边形的对角，则此四边形内接于圆；(ⅱ)如果四边形的一个外角它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．②圆内接四边形性质定理(ⅰ)圆内接四边形的对角；(ⅱ)圆内接四边形的外角它的内角的对角．忆一忆知识要点互补等于互补等于要点梳理主页[难点正本疑点清源]1．抓住判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”．主页2．借助图形判断三角形相似的方法(1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；(3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边．3．与圆有关的等角问题找角相等，要有找同弧或等弧所对的圆周角，并注意结合应用弦切角定理的意识．主页例1如图所示，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F，求证：ABAC＝DFAF.相似三角形的判定及性质先证明△ABD∽△CAD，再证明△FBD∽△FDA，利用BDAD过渡可证结论．证明∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝∠BAC＝90°，∴∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠ACB＝90°，∴∠1＝∠ACB，∴△ABD∽△CAD，∴ABAC＝BDAD.主页又∵E是AC的中点，∴DE＝EC，∴∠3＝∠ACB.又∵∠3＝∠4，∠1＝∠ACB，∴∠1＝∠4，又有∠F＝∠F，∴△FBD∽△FDA，∴BDAD＝DFAF，∴ABAC＝DFAF.(1)判定两个三角形相似要注意结合图形性质灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边．(2)相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；可间接证明线段相等．探究提高主页如图，▱ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，DE＝12CD.(1)求证：△ABF∽△CEB；(2)若△DEF的面积为2，求▱ABCD的面积．变式训练1(1)证明∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，∴∠ABF＝∠CEB，∴△ABF∽△CEB.(2)解∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，主页∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.∴S△DEFS△CEB＝DECE2，S△DEFS△ABF＝DEAB2.又∵DE＝12CD＝12AB，∴CE＝DE＋CD＝DE＋2DE＝3DE.∴S△DEFS△CEB＝DE3DE2＝19，S△DEFS△ABF＝DE2DE2＝14，∵S△DEF＝2，∴S△CEB＝18，S△ABF＝8.∴S▱ABCD＝S△ABF＋S△CEB－S△DEF＝8＋18－2＝24.主页例2如图所示，AD、BE是△ABC的两条高，DF⊥AB，垂足为F，直线FD交BE于点G，交AC的延长线于H，求证：DF2＝GF·HF.直角三角形射影定理及其应用先证△AFH∽△GFB，再在Rt△ABD中利用射影定理．证明∵∠H＋∠BAC＝90°，∠GBF＋∠BAC＝90°，∴∠H＝∠GBF.∵∠AFH＝∠GFB＝90°，∴△AFH∽△GFB.∴HFBF＝AFGF，∴AF·BF＝GF·HF.主页因为在Rt△ABD中，FD⊥AB，∴DF2＝AF·BF，所以DF2＝GF·HF.(1)在使用直角三角形射影定理时，要注意将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”．(2)证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法．探究提高主页如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，求证：AC3BC3＝AEBF.变式训练2证明由直角三角形射影定理，知AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，AD2＝AE·AC，BD2＝BF·BC，∴AC2BC2＝ADBD.∴AC4BC4＝AD2BD2＝AE·ACBF·BC，∴AC3BC3＝AEBF.主页例3如图所示，⊙O的直径为6，AB为⊙O的直径，C为圆周上一点，BC＝3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，AD分别与直线l、圆交于D、E，(1)求∠DAC的度数；(2)求线段AE的长．圆周角、弦切角及圆的切线问题(1)∠BCF＝∠BAC＝30°，∠ACD＋∠BCF＝∠ACD＋∠DAC＝90°；(2)可证明Rt△ABE≌Rt△BAC.主页解(1)由已知△ABC是直角三角形，易知∠CAB＝30°，由于直线l与⊙O相切，由弦切角定理知∠BCF＝30°，(1)(2)方法一连结BE，如图(1)所示，∠EAB＝60°＝∠CBA，则Rt△ABE≌Rt△BAC，所以AE＝BC＝3.由∠DCA＋∠ACB＋∠BCF＝180°，知∠DCA＝60°，故在Rt△ADC中，∠DAC＝30°.方法二连结EC，OC，如图(2)所示，则由弦切角定理知，∠DCE＝∠CAE＝30°，(2)主页又∠DCA＝60°，故∠ECA＝30°，又因为∠CAB＝30°，故∠ECA＝∠CAB，从而EC∥AO，由OC⊥l，AD⊥l，可得OC∥AE，故四边形AOCE是平行四边形，又因为OA＝OC，故四边形AOCE是菱形，故AE＝AO＝3.主页(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．探究提高主页(2010·课标全国)如图，已知圆上的弧＝，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE×CD.AC（BD（变式训练3证明(1)因为＝，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.AC（BD（(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故BCBE＝CDBC，即BC2＝BE×CD.主页例4如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B，C，∠APC的角平分线分别与AB、AC相交于点D、E，求证：(1)AD＝AE；(2)AD2＝DB·EC.与圆有关的比例线段(1)要证AD＝AE，只需证明∠ADE＝∠AED，而∠AED是△EPC的外角，∠ADE是△APD的外角，因此可利用此两条件结合EP是∠APC的平分线证明．(2)证明AD2＝DB·EC，应将等积式转化为比例式，由于题中含条件AD＝AE，因此可将待证式转化为ADEC＝DBAE，利用已知图形中三角形相似的条件证明．主页证明(1)∠AED＝∠EPC＋∠C，∠ADE＝∠APD＋∠PAB.因PE是∠APC的角平分线，故∠EPC＝∠APD.又PA是⊙O的切线，故∠C＝∠PAB.所以∠AED＝∠ADE.故AD＝AE.(2)∠PCE＝∠PAD∠CPE＝∠APD⇒△PCE∽△PAD⇒ECAD＝PCPA；∠PEA＝∠PDB∠APE＝∠BPD⇒△PAE∽△PBD⇒AEDB＝PAPB.又PA是切线，PBC是割线⇒PA2＝PB·PC⇒PAPB＝PCPA.故ECAD＝AEDB，又AD＝AE，故AD2＝DB·EC.主页涉及与圆有关的等积线段或成比例的线段，常利用圆周角或弦切角证明三角形相似，在相似三角形中寻找比例线段；也可以利用相交弦定理、切割线定理证明线段成比例，在实际应用中，一般涉及两条相交弦应首先考虑相交弦定理，涉及两条割线就要想到割线定理，见到切线和割线时要注意应用切割线定理．探究提高主页如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，弦CD∥AP，AD、BC相交于E点，F为CE上一点，且DE2＝EF·EC.(1)求证：∠P＝∠EDF；(2)求证：CE·EB＝EF·EP.变式训练4证明(1)∵DE2＝EF·EC，∴DE∶CE＝EF∶ED.∵∠DEF是公共角，∴△DEF∽△CED，∴∠EDF＝∠C.∵CD∥AP，∴∠C＝∠P，∴∠P＝∠EDF.(2)∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA，∴△DEF∽△PEA.∴DE∶PE＝EF∶EA.即EF·EP＝DE·EA.∵弦AD、BC相交于点E，∴DE·EA＝CE·EB，∴CE·EB＝EF·EP.主页(10分)如图，已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，∠B＝60°，F在AC上，且AE＝AF.证明：(1)B、D、H、E四点共圆；(2)CE平分∠DEF.证明题格式要规范答题规范(1)要证四点共圆，关键是证四边形BDHE的一组对角互补．所以要从角的关系入手．(2)证明CE平分∠DEF，就是要证∠CED＝∠CEF，可从找这两个角的关系入手．审题视角主页证明(1)在△ABC中，因为∠B＝60°，所以∠BAC＋∠BCA＝120°.因为AD、CE分别是∠BAC、∠DCF的平分线，所以∠HAC＋∠HCA＝60°，故∠AHC＝120°.[3分]于是∠EHD＝∠AHC＝120°.所以∠EBD＋∠EHD＝180°，所以B、D、H、E四点共圆．[6分](2)连结BH，则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD＝30°.主页由(1)知B、D、H、E四点共圆，所以∠CED＝∠HBD＝30°.[8分]又∠AHE＝∠EBD＝60°，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF＝30°.所以CE平分∠DEF.[10分]主页批阅笔记(1)本题主要考查了四点共圆的充要条件及角平分线的性质应用．(2)学生易错原因是弄不清四点共圆的条件，或找不到∠EBD与∠EHD的互补关系，从而无从入手．(3)推理过程不严谨，书写格式不规范．要写清楚定理的条件，每步推理要体现出“因为……，所以……”的格式来．主页1．证明等积式成立，应先把它写成比例式，找出比例式中给出的线段所在三角形是否相似，若不相似，则进行线段替换或等比替换．2．圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比．由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用．方法与技巧主页1．在应用平行截割定理时，一定要注意对应线段成比例．2．在解决相似三角形时，一定要注意对应角和对应边，否则容易出错．失误与防范