3.2.2二自由度有阻尼振系自由振动第3章二自由度系统的振动图3.10二自由度有阻尼振系受力分析m1m2k2x1x2c2c1c3k1k3k2(x2-x1)11xmk1x111xc)(122xxck2(x2-x1)22xm23xck3x2)(122xxcm1m2第3章二自由度系统的振动0)()(0)()(232122321222221212212111xkkxkxccxcxmxkxkkxcxccxm根据牛顿第二定律,运动微分方程如下231222312222111221112211)()()()(xcxxcxkxxkxmxcxxcxkxxkxm合并,整理得k2(x2-x1)11xmk1x111xc)(122xxck2(x2-x1)k3x223xc)(122xxcm1m222xm写成矩阵形式第3章二自由度系统的振动(3.19)000021322221213222212121xxkkkkkkxxccccccxxmm其中212221121100mmmmmmM32222122211211ccccccccccC32222122211211kkkkkkkkkkK0)()(0)()(232122321222221212212111xkkxkxccxcxmxkxkkxcxccxm第3章二自由度系统的振动设式(3.19)解的形式为tteAxeAx2211代入式(3.19)得0)()(0)()(22222222121212212121221211111211AkcmAkcmAkcmAkcm上式具有非零解的条件是0)()()()(2222222212122112122121111211kcmkcmkcmkcm展开上式得到特征方程的形式为0234EDCBA(3.19)000021322221213222212121xxkkkkkkxxccccccxxmm第二章习题课第3章二自由度系统的振动(3.20)tttttttteAeAeAeAxeAeAeAeAx43214321242322212141312111由此可解得四个特征根λ1,λ2,λ3,λ4,如果这些根都是实数,运动将是非振荡性。由于系统阻尼力总是要消耗能量的,因此,运动将衰减,也就是说特征根必定是负实数。这时,系统属于过渡阻尼的情况。若特征根是复数,根一定是成对的共轭复数。设此时特征根为0234EDCBA224223112111;;;jpjpjpjp=-=-=-=-方程组(3.19)的通解为tteAxeAx2211(3.19)000021322221213222212121xxkkkkkkxxccccccxxmm两个相等的负实根两个不等的负实根两个共轭复根第3章二自由度系统的振动0)()(0)()(22222222121212212121221211111211AkcmAkcmAkcmAkcm(3.20)tttttttteAeAeAeAxeAeAeAeAx43214321242322212141312111其中(3.21.1)12212221222112121211211221121111121111121kcmkcmkcmkcmAA(3.21.2)22222222222122122211221222121121122111222kcmkcmkcmkcmAA第3章二自由度系统的振动(3.21.3)32232223222132123211231223121131123111323kcmkcmkcmkcmAA(3.21.4)42242224222142124211241224121141124111424kcmkcmkcmkcmAA224223112111;;;jpjpjpjp=-=-=-=-将复数根代入上述各式,则有(3.22)221121421311211121;21;21;21jjjjeBAeBAeBAeBA)(3.23221124231211;;;jjjjeeee第3章二自由度系统的振动(3.22)221121421311211121;21;21;21jjjjeBAeBAeBAeBA)(3.23221124231211;;;jjjjeeee将式(3.22)和式(3.23)代入式(3.20),得到解的最终形式)cos()cos()()cos()cos()(2222211111222211112121tpeBtpeBtxtpeBtpeBtxtttt从上式可以看出,微小阻尼的二自由度系统的一般运动,是由两个频率为p1和p2的衰减自由振动叠加而成。这是与无阻尼自由振动相似之处,不同之处在于同一频率的衰减自由振动中,各坐标(即各质量的运动)之间的相位不同。(3.11))sin()sin()()sin()sin()(22122111112221211111tpAtpAtxtpAtpAtx第3章二自由度系统的振动如图3.2所示二自由度系统,若系统的阻尼为零,c1=c2=c3=0,又受到简谐激振力f1(t)=F1sinωt及f2(t)=F2sinωt作用就变为图3.11所示受简谐激振力作用的二自由度无阻尼振系。3.3二自由度系统的强迫振动3.3.1二自由度无阻尼振系在简谐激振力下的强迫振动和单自由度系统一样,二自由度系统在受到持续的激振力作用下就会产生强迫振动,而且在一定条件下也会产生共振。图3.11二自由度振系简谐激振第3章二自由度系统的振动受力分析k2(x2-x1)m111xmk3x222xmm2k2(x2-x1)k1x1tFsin1tFsin2根据牛顿定律tFxkxxkxmtFxkxxkxmsin)(sin)(2231222211112211第3章二自由度系统的振动222111232221212,,,,,mFqmFqmkkdmkcmkbmkka1tFxkxxkxmtFxkxxkxmsin)(sin)(2231222211112211合并移项得tFxkkxkxmtFxkxkkxmsin)(sin)(2232122212212111tmFxmkkxmkxtmFxmkxmkkxsinsin22223212221121211211令第3章二自由度系统的振动(3.24)tqdxcxxtqbxaxxsinsin22121211tmFxmkkxmkxtmFxmkxmkkxsinsin22223212221121211211222111232221212,,,,,mFqmFqmkkdmkcmkbmkka1则可把上式简化为这是一个二阶线性常系数非齐次微分方程组,其通解由两部分组成。一是对应于齐次方程组的解,即上节讨论过的自由振动,当系统存在阻尼时,这一自由振动经过一段时间后就逐渐衰减掉。二是对于上述非齐次方程组的一个特解,它是由激振力引起的强迫振动,即系统的稳态振动。这里只研究稳态振动,故设上列微分方程组简谐振动的特解为(3.25)tBxtBxsinsin2211对式(3.25)分别求一阶及二阶导数,代入式(3.24)得(3.24)tqdxcxxtqbxaxxsinsin2212121122211212)()(qBdcBqbBBa这是一个二元非齐次联立代数方程,它的解为第3章二自由度系统的振动第3章二自由度系统的振动)(3.26222212222211))(()(bcdabqqddcbadqbqB)(3.26222221222122))(()(bcdaqacqdcbaqcqaB由式(3.5),系统固有频率方程为0)()(24bcadpdap根据根与系数的关系式:bcadppdapp22212221第3章二自由度系统的振动所以得(3.27)4))(()()())((22221222212222142222ppppppbcaddabcda2222122121))(()(ppbqqdB2222122212))(()(ppqacqB以B1,B2为纵坐标,以ω为横坐标,作出幅频特性曲线。它表明系统位移对频率的响应特性。结论在二自由度系统中,如果激振力的频率和系统的任一阶固有频率相近时,系统都产生共振。二自由度系统的强迫振动有两个共振频率。第3章二自由度系统的振动)(3.26222212222211))(()(bcdabqqddcbadqbqB)(3.26222221222122))(()(bcdaqacqdcbaqcqaB(3.25)tBxtBxsinsin2211把式(3.26)代回式(3.25)就可得到系统的响应为第3章二自由度系统的振动(3.28)tbcdabqcqtBxtbcdabqqdtBxsin))((sinsin))(()(sin2221222221211上式表明,系统作与激振力同频率的简谐振动。其振幅不仅决定于激振力的幅值F1和F2、激振力频率以及系统本身的物理性质,与系统的固有频率也有很大的关系)(3.26bcdabqqdB))(()(222121)(3.26bcdaqacqB))(()(222212把式(3.26)中两式相除,得第3章二自由度系统的振动2121221112)()()(1bqqpdqpacqBBp21222112)()(bqqdqacqBB这说明,在一定的激振力的幅值和频率下,振幅比同样是确定值,也就是说,系统有一定的振型。当激振频率ω等于第一阶固有频率p1时,振幅比为1122121221112112221212111211)()()()()(pBBbqqpdqpacqqpdcqbqqpapdcbpaAA=同理2)(1212222pBBAA第3章二自由度系统的振动结论2)(1212222p