非平稳时间序列模型

第十三章非平稳时间序列模型13.1认识非平稳的数据特征13.2非平稳时间序列与单位根过程13.3.趋势平稳和差分平稳过程13.4单位根检验13.5ARIMA模型13.6谬误回归13.7协整与误差校正模型13.8我国商业银行利率的协整分析前言在前面的章节中，所阐述的有关时间序列数据模型的内容都假定数据是平稳的，那么，实际经济中的数据有没有可能是非平稳的？如何检验时间序列数据的非平稳性？特别是，如果我们面对的是非平稳的数据，原有的基于平稳数据而建立的分析方法是否仍然适用？如果不适用，我们就应该针对非平稳数据的特征，提出新的分析方法。本章我们将系统阐述非平稳性的概念、估计与检验方法。§13.1认识非平稳的数据特征我们以中国国内生产总值(GDP)，经济增长率(g)的数据为基础分析相关概念，具体数据如图：图13.1.1GDP数据图图13.1.2经济增长率数据图从图13.1.2可以发现，我国经济增长率数据既没有上升趋势，也没有下降趋势，而是围绕在某个均值附近上下波动。一旦某年度的经济增长率偏离均值，它会随后较快地向均值回复，也就是说，经济增长率具有均值回复特征。经济增长率的数据特征与上一章中所介绍的平稳数据特征很相似。与之不同的是，我国的GDP虽有一定的波动，但存在一个明显的上升趋势。如果我们把每年的GDP看成是一个随机变量，那么，这种上升的趋势就使得每年GDP的均值发生变化。类似GDP这样的数据变化特征就是本章将要介绍的非平稳数据的一个典型特征。§13.2非平稳时间序列与单位根过程定义：如果一个时间序列的均值或方差随时间而变化，那么，这个时间序列数据就是非平稳的时间序列数据；如果一个序列是非平稳的序列，常常称这一序列具有非平稳性。如果时间序列不满足如下平稳性定义中的一条或几条，则是非平稳的序列。tXtX（1）的均值不随时间变化，（2）的方差不随时间变化，（3）任何两期的与之间的协方差仅依赖于这两期间隔的距离或滞后长度（），而不依赖于其他变量（对所有的），即与的协方差表述为tX()tEXtX22()()ttvarXEXtXtkXkktXtkX[()()]kttkEXX平稳性定义所谓时间序列的随机游走（randomwalk）即指下一期的值等于当期的值加上随机误差项。我们把随机游走划分为带漂移的随机游走和不带漂移的随机游走。非平稳性和随机游走的关系：假设由一阶自回归过程所生成：将代入方程(13.2.1)：这样定义的被称为随机游走，假定时间序列从第0期开始，我们就有：tY1tttYY(13.2.1)1tttYY(13.2.2)Y01titiYY(13.2.3)001()()ttiiEYEYY2()tvarYt(13.2.4)(13.2.5)1方程(13.2.2)中没有截距项(这里称为漂移项)和时间趋势项，若在方程中分别加入漂移项和时间趋势项，可得到另外两种随机游走方程：方程(13.2.6)称为带漂移的单位根过程，方程(13.2.7)称为带漂移和时间趋势的单位根过程。1tttYY(13.2.6)(13.2.7)1tttYtY图13.2.1：10.6tttYY图13.2.2：1tttYY图13.2.3：图13.2.4：11tttYY110.3tttYtY认识数据特征：平稳数据和几种单位跟数据§13.3.趋势平稳和差分平稳过程一、趋势平稳和差分平稳的数据生成过程图13.1.1中我国的名义GDP表现出很强的趋势，这种趋势是随机性的还是确定性的呢？还是两者兼而有之呢？为清楚理解这一问题的含义，考虑如下模型：0121tttYtY(13.3.1)(1)在模型(13.3.1)中，若则可以得到：模型(13.3.2)是一个不带漂移和时间趋势项的随机游走，是非平稳的单位根过程，对其取差分的形式，得到：由于随机误差项()是平稳的，因此，是平稳的。换言之，一个不带漂移的随机游走是一个差分平稳过程。,1,0,02101tttYY(13.3.2)1()ttttYYY(13.3.3)ttY(2)在模型(13.3.1)中，若则可以得到：这是一个带漂移的随机游走过程，是非平稳的单位根过程，将其写成差分的形式：这意味着时间序列的变化()除了受的影响外，还受误差项的影响，并且将把以前时期的值累积起来，随机误差项对的这种累积效应被称为随机趋势。带漂移的单位根过程也是差分平稳的。,1,0,0210(13.3.4)(13.3.5)ttY01tttYY10()ttttYYY0tYttY(3)在模型(13.3.1)中，若则可以得到：模型(13.3.6)所生成的数据，其均值不是常数而是时间的函数（等于），其方差恒定(等于的方差)，一旦知道了的值，就可以准确预测的均值及其趋势。一旦从中减去其均值，所得到的序列就是平稳的，因此，由(13.3.6)生成的称为趋势平稳过程。这种除去确定性趋势的过程称为除趋势。,0,0,0210(13.3.6)ttYtY01ttYt01t10，(4)在模型(13.3.1)中，若则可以得到：这是一个带漂移和时间趋势的随机游走，将模型(13.3.7)转化成差分的形式：可以看出，含有时间趋势，因此的均值随时间而变化，是非平稳的。要使变成平稳，需要对其进行除趋势处理。也就是说，是趋势平稳过程。,1,0,0210(13.3.7)(13.3.8)tY011tttYtY01ttYttYtYtYtY二、趋势平稳的检验方法实际研究中一个简单的区分趋势平稳和差分平稳的方法，就是从数据中去除其所含有的确定性部分，然后检验其剩余部分是单位根过程还是平稳过程。如果剩余部分是单位根过程，则说明该数据本身是差分平稳，否则该数据就是趋势平稳过程。例如，对如下模型做回归：得到回归残差，再检验的平稳性，基于检验结果判断是否趋势平稳。01ttYt(13.3.9)01ˆˆˆˆttYtˆttY§13.4单位根检验一、迪基－富勒(DF)检验数据的非平稳性可能归因于一个确定性时间趋势，也可能是源自于数据生成过程中的随机游走，也许两者兼而有之，区分非平稳数据的这两种特征非常重要。Nelson,Plosser(1982)等认为很多经济时间序列都是由单位根而不是由确定性时间趋势来更好地近似描述。因此，近期广受欢迎的一种非平稳性检验就是所谓的单位根检验。回忆我们曾讨论方程(13.2.1)中的值，它帮助我们确定Y是平稳还是非平稳：我们已在13.2节中定义,如果1时，是平稳的；当1时，趋于以更快的速度爆炸性增长，此时称为发散过程；但当=1，是非平稳的且被称为单位根过程。因此，迪基－富勒（DF）单位根检验的原理：估计方程（13.4.1），并确定是否有1,从而判定是否是平稳的,1tttYY(13.4.1)tYtYtYtYtY首先，在方程（13.4.1）两边同时减去，得到：定义，我们就得到迪基－富勒（DF）检验最简单的表达式：这里，因此，检验是否为单位根过程就转而检验原假设=0。若=0，则=1，为一个单位根过程；若0，则1，是平稳的。于是我们构造原假设:=0，备择假设:0。(13.4.2)1tY1111(1)tttttttYYYYY1tttYYY1tttYYv(13.4.3)1tYtYtY0H1H如何检验模型(13.4.3)的原假设是否成立？在原假设下，估计的的回归系数的t统计值即使在大样本下也不服从t分布，因此，使用通常的t检验无法检验原假设是否成立。迪基－富勒的解决办法：在原假设0下，使用模型(13.4.3)中系数的通常t型统计量，但极限分布不同于t分布，将这时的t统计量称之为统计量。迪基－富勒使用蒙特卡罗仿真实验计算了统计量极限分布的临界值，麦金农(MacKinnon)计算了更为全面的极限分布临界值表，常用的计量软件都带有。1tY0H与三种随机游走时间序列相对应的三种形式的DF检验形式：不论我们采用哪种形式的迪基－富勒检验，判断法则都是基于的估计。注意：检验原假设=0的检验随DF检验形式的不同而不同，所对应统计量的临界值也不相同，认识这点非常重要。1tttYYu(13.4.4)(13.4.5)(13.4.6)01tttYYu011tttYtYu二、扩展的迪基－富勒(ADF)检验考虑误差项存在序列相关，对迪基－富勒检验方程的设定形式进行相应修正：将若干阶差分的滞后项作为迪基－富勒检验方程中的解释变量，这种情形的DF检验被称为增广的迪基－富勒(ADF)检验。对应三种不同形式的DF检验，ADF检验为：tY11pttititiYYYu011pttititiYYYu0111pttititiYtYYu(13.4.7)(13.4.8)(13.4.9)上述检任然是都是基于的估计。三、ADF检验的实例（一）我们选择了1978～2007年江西省的商品零售价格指数(P)和1989～2007年江西省净出口总额(EX)数据，数据图形如图13.4.1和13.4.2。图13.4.1：商品零售价格指数图13.4.2：净出口总额系数-0.24所对应的t统计量值为大于ADF的5%显著性水平下对应的临界值(-1.953)而小于10%显著水平下的临界值(-1.610)，因此，不能在5%的显著性水平下拒绝单位根的原假设，但可在10%的显著性水平下拒绝单位根的原假设。针对商品零售价格指数没有明显确定趋势的数据特征，设定ADF检验模型为：使用Eviews5对进行ADF检验，其中滞后期q是根据最小AIC准则确定为0，检验方程估计得到：t=(-1.946)Eviews5检验结果输出表为：11qttititipppu(13.4.10)1ˆ0.24tttPPuP所对应t统计量值为-0.679，大于5%显著性水平对应的临界值-3.05，不能拒绝为单位根的原假设。针对的数据图形的趋势，我们选择带漂移项，不带时间趋势项的ADF检验：使用Eviews5对进行ADF检验，其中滞后期q是根据最小AIC准则确定为1，检验方程估计得到：t=(1.15)(-0.68)(0.14)Eviews5检验结果输出表为：(13.4.11)11qttititiEXEXEXuEXEX11ˆ126034.90.1660.044ttttEXEXEXu（二）我国季度GDP的数据特征我们选择1995Q1～2008Q2的季度GDP,数据来自中经网统计数据库。使用消费者价格指数(1994=100)换算成实际GDP后，再使用X12进行季节调整，去除季节趋势。去季节趋势后的实际GDP取自然对数值Ln(RGDP)见图13.4.3。图13.4.3：实际GDP季度数据所对应t统计量值为-1.16，大于5%显著性水平对应的临界值-3.50，不能拒绝原假设。从图形可以看出，RGDP含有明显的确定性趋势，它很可能是带漂移项、时间趋势项的单位根过程，因此，我们设定检验方程：使用Eviews5对进行ADF检验，滞后期是根据最小AIC准则确定为0，对检验方程估计得到：t=(1.19)(-1.16)(1.54)Eviews5检验结果输出表为：0111qttititiRGDPtRGDPRGDPu(13.4.12)1ˆln()0.5130.54ln()0.002tttRGDPRGDPTu