数字电路与系统(何艳)第二章-2

2020年2月10日星期一第二章逻辑代数基础1第五节逻辑函数的表达式一、常见表达式二、标准表达式1.最小项、最小项表达式2.最大项、最大项表达式3.最小项和最大项的性质4.几个关系式5.由一般表达式写出最小(大)项表达式的方法2020年2月10日星期一第二章逻辑代数基础2第六节逻辑函数的化简一、化简的意义和最简的标准二、公式法1.与或式的化简2.或与式的化简1.化简的意义（目的）2.化简的目标3.最简的标准6.由真值表写出最小（大）项表达式的方法2020年2月10日星期一第二章逻辑代数基础3第五节逻辑函数的表达式一、常见表达式：F=AB+AC=AB+AC=AB·AC=(A+B)·(A+C)与或式与非—与非式与或非式=AB+AC2020年2月10日星期一第二章逻辑代数基础4=(A+B)·(A+C)或与式=(A+B)·(A+C)=A+B+A+C或非—或非式二、标准表达式：1.最小项、最小项表达式：(1)最小项的概念及其表示2020年2月10日星期一第二章逻辑代数基础5例1：已知三变量函数F(A,B,C)，则ABC就是一个最小项，通常写成m5。其中，m表示最小项，5表示最小项的编号ABC(101)2(5)10例2：已知四变量函数F(A,B,C,D)，则BACD就是一个最小项，其最小项编号为多少？解：把最小项中的变量从左到右按A,B,C,D的顺序排列，得ABCD，从而得(0111)2，即(7)10。2020年2月10日星期一第二章逻辑代数基础6所以，此最小项的编号为7，通常写成m7。(2)最小项表达式（标准与或式）例：F(A,B,C)=ABC+ABC+ABC),,(420mmm)4,2,0(m420mmm2020年2月10日星期一第二章逻辑代数基础72.最大项、最大项表达式：(1)最大项的概念及其表示其中，M表示最大项，5表示最大项的编号(101)2(5)10例1：已知三变量函数F(A,B,C)，则A+B+C就是一个最大项，通常写成M5。A+B+C2020年2月10日星期一第二章逻辑代数基础8例2：已知四变量函数F(A,B,C,D)，则B+C+A+D就是一个最大项，其最大项编号为多少？解：把最大项中的变量从左到右按A,B,C,D的顺序排列，得A+B+C+D，从而得(0111)2，即(7)10。所以，此最大项的编号为7，通常写成M7。2020年2月10日星期一第二章逻辑代数基础9(2)最大项表达式（标准或与式）例：F(A,B,C)=(A+B+C)·(A+B+C)·(A+B+C)),,(420MMM420MMM)4,2,0(M2020年2月10日星期一第二章逻辑代数基础10一变量函数，如F(A)，共有：2个最小项3.最小项和最大项的性质即：A、A二变量函数，如F(A,B)，共有：4个最小项三变量函数，如F(A,B,C)，共有：8个最小项即：AB、AB、AB、AB即：ABC、ABC、ABC、ABCABC、ABC、ABC、ABC结论：n变量函数，共有：2n个最小（大）项。2020年2月10日星期一第二章逻辑代数基础11(1)最小项的主要性质①对任何一个最小项，只有一组变量的取值组合，使它的值为1。2020年2月10日星期一第二章逻辑代数基础12ABCABC00000010010001101000101111001110能使最小项的值为1的取值组合，称为与该最小项对应的取值组合。例：101ABC。若把与最小项对应的取值组合看成二进制数，则对应的十进制数就是该最小项的编号i。2020年2月10日星期一第二章逻辑代数基础13②全部最小项之和恒等于1。即：1201niim③任意两个最小项的乘积恒等于0。即：),12)(0(0jijimmnji且2020年2月10日星期一第二章逻辑代数基础14即：④任一最小项与另一最小项非之积恒等于该最小项。),12)(0(jijimmmniji且证明：若自变量的取值组合使mi=1(有且只有一组)，则：ijimmm1若自变量的取值组合使mi=0(其余2n-1组)，则：ijimmm0所以，等式成立。2020年2月10日星期一第二章逻辑代数基础15(2)最大项的主要性质：①对任何一个最大项，只有一组变量的取值组合，使它的值为0。2020年2月10日星期一第二章逻辑代数基础16ABCA+B+C00010011010101111001101011011111能使最大项的值为0的取值组合，称为与该最大项对应的取值组合。若把与最大项对应的取值组合看成二进制数，则对应的十进制数就是该最大项的编号i。例：101A+B+C。2020年2月10日星期一第二章逻辑代数基础17②全部最大项之积恒等于0。即：0120niiM③任意两个最大项的和恒等于1。即：),12)(0(1jijiMMnji且④任一最大项与另一最大项非之和恒等于该最大项。即：),12)(0(jijiMMMniji且2020年2月10日星期一第二章逻辑代数基础184.几个关系式(1)编号相同的最小项和最大项互补。即：iiiiMmMm或例如：三变量函数F(A,B,C)的m5,M5对A,B,C的8组取值组合，其取值如下：2020年2月10日星期一第二章逻辑代数基础19ABCABC（m5)00000010010001101000101111001110ABCA+B+C(M5)000100110101011110011010110111112020年2月10日星期一第二章逻辑代数基础20以外的所有正整数）中除了为（jkn)12(~0kjmFmF则若,)2(证明：即上述关系式成立。1kjmm因为kjkjkjmmmmmm所以时，当时，当01102020年2月10日星期一第二章逻辑代数基础21),4,2,1(),,(mCBAF例：)7,6,5,3,0(mF则kjMm)3(以外的所有正整数）中除了为（jkn)12(~0),4,2,1(),,(mCBAF例：)7,6,5,3,0(mFF则)7,6,5,3,0(M2020年2月10日星期一第二章逻辑代数基础22jjMFmF，则若)4())12(()5(jkmFmFnkj，则若证明：根据反演规则和对偶规则之间的关系可知，F中的原、反变量互换，即得到F′。所以，F和F′中包含的最小项的个数是相等的，且对应的最小项的编号之和为(2n-1)。2020年2月10日星期一第二章逻辑代数基础23即上述关系式成立。例1：若)6,4,3(),,(mCBAF=ABC+ABC+ABC则F′(A,B,C)=ABC+ABC+ABC)1,3,4(m例2：若)6,4,3(),,(mCBAF则)?(mF解：,)7,5,2,1,0(mF)7,6,5,2,0(mF2020年2月10日星期一第二章逻辑代数基础245.由一般表达式写出最小(大)项表达式的方法：一般表达式与或式或与式A+A=1最小项表达式A·A=0最大项表达式例1：式。展开成最小项之和的形试将ABCBAF),,(解：F(A,B,C)=AB(C+C)=ABC+ABC)7,6(m2020年2月10日星期一第二章逻辑代数基础25例2：最大项之积的形式。展开成试将ACABCBAF),,(解：F(A,B,C)=AB+AC=A(B+C)=(A+BB+CC)(AA+B+C)(A+B+C)·(A+B+C)=(A+BB+C)·(A+BB+C)·=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C))4,3,2,1,0(M2020年2月10日星期一第二章逻辑代数基础266.由真值表写出最小（大）项表达式的方法(1)最小项表达式是真值表中所有使函数值为1的取值组合所对应的各最小项之和。例2.5.3试将表2.5.2真值表所表示的逻辑函数分别用最小项表达式和最大项表达式表示。(2)最大项表达式是真值表中所有使函数值为0的取值组合所对应的各最大项之积。2020年2月10日星期一第二章逻辑代数基础27ABF001010101110解：最小项表达式：=m0+m2最大项表达式：=M1·M3F(A,B)=(A+B)·(A+B)F(A,B)=AB+AB表2.5.22020年2月10日星期一第二章逻辑代数基础28第六节逻辑函数的化简一、化简的意义和最简的标准：1.化简的意义（目的）：节省元器件；提高工作可靠性2.化简的目标：最简与或式或者最简或与式3.最简的标准：(1)项数最少(2)每项中的变量数最少2020年2月10日星期一第二章逻辑代数基础29二、公式法1.与或式的化简(1)相邻项合并法利用合并相邻项公式:AB+AB=A例2：F=A(BC+BC)+A(BC+BC)=A例1：F=AB+CD+AB+CD=A+D=(AB+AB)+(CD+CD)2020年2月10日星期一第二章逻辑代数基础30(2)消项法=AB利用消项公式A+AB=A或多余项公式AB+AC+BC=AB+AC例1：F=AB+ABC+ABD=AB+AB(C+D)例2：F=AC+CD+ADE+ADG=AC+CD2020年2月10日星期一第二章逻辑代数基础31(3)消去互补因子法利用消去互补因子公式A+AB=A+B例1：F=AB+AC+BC=AB+C=AB+ABC例2：F=AB+AB+ABCD+ABCD=AB+AB+CD(AB+AB)=AB+AB+CD(4)综合法2020年2月10日星期一第二章逻辑代数基础32结论：先找公共因子，再找互补因子合并相邻项公式AB+AB=A消项公式A+AB=A消去互补因子公式A+AB=A+B多余项（生成项）公式AB+AC+BC=AB+AC2020年2月10日星期一第二章逻辑代数基础332.或与式的化简：方法：二次对偶法F或与式（未化简）与或式（进行化简）或与式（已化简）F′F2020年2月10日星期一第二章逻辑代数基础34解：F′=ABC+ABC例：把F(A,B,C)=(A+B+C)(A+B+C)化为最简或与式。=ABF=(F′)′=A+B2020年2月10日星期一第二章逻辑代数基础35作业题2.12.8(1)2.10(1)2.11(1)