不等式概念及性质知识点详解与练习

不等式的概念及性质知识点详解及练习一、不等式的概念及列不等式不等式表示出不等关系列出代数式设未知数步骤列不等式””、“”、“”、“”、““不等号概念1、不等式的概念及其分类（1）定义：用“＞”、“﹤”、“≠”、“≥”及“≤”等不等号把代数式连接起来，表示不等关系的式子。a-b0ab,a-b=0a=b,a-b0ab。（2）分类：①矛盾不等式：不等式只是表示了某种不等关系，它表示的关系可能在任何条件下都不成立，这样的不等式叫矛盾不等式；如2＞3，x2﹤0②绝对不等式：它表示的关系可能在任何条件下都成立，这样的不等式叫绝对不等式；③条件不等式：在一定条件下才能成立的不等式叫条件不等式。（3）不等号的类型：①“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；②“＞”读作“大于”，它表示左边的数比右边的数大；③“﹤”读作“小于”，它表示左边的数比右边的数小；④“≥”读作“大于或等于”，它表示左边的数不小于右边的数；⑤“≤”读作“小于或等于”，它表示左边的数不大于右边的数；注意：要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。（4）常见不等式基本语言的含义：①若x＞0，则x是正数；②若x﹤0，则x是负数；③若x≥0，则x是非负数；④若x≤0，则x是非正数；⑤若x-y＞0，则x大于y；⑥若x-y﹤0，则x小于y；⑦若x-y≥0，则x不小于y；⑧若x-y≤0，则x不大于y；⑨若xy＞0（或yx＞0），则x，y同号；⑩若xy﹤0（或yx﹤0），则x，y异号；（5）等式与不等式的关系：等式与不等式都用来表示现实中的数量关系，等式表示相等关系，不等式表示不等关系，但不论是等式还是不等式，都是同类量比较所得的关系，不是同类量不能比较。2、列不等式：（1）根据已知条件列不等式，实际上就是用不等式表示代数式间的不等关系，重点是抓住关键词，弄清不等关系。（2）步骤：①正确列出代数式；②正确使用不等号知识要点总结注意问题不等式的概念表示不相等关系的式子1、“不大于”应为“≤”2、“不小于”应为“≥”列不等式两步骤：正确列出代数式；正确使用不等号解题方法总结列不等式和列代数式以及列方程有相似之处，一般是先设出未知数，再用代数式表示出相关的量，通过寻找不等关系列出不等式，审题时要抓住关键词。如“不超过”、“不大于”、“不小于”等。例1：列不等式：①x的2倍与y的差是非正数；②x与3的差不小于5例2：已知关于x、y的方程组92142xyxmy，试列出使x≤y成立的关于m的不等式二、不等式的解和解集1、相关概念：①不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；②不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围叫做不等式的解的集合，简称解集；③解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式；2、不等式的解和解集的区别与联系：区别：不等式的解是一些具体数值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示。联系：不等式的每一个解都在它的解集的范围内。3、用数轴表示不等式的解集：①x≥-2表示为：②x≤-2表示为：③x﹤2表示为：④x＞2表示为：特别提示：用数轴表示不等式的解集要注意两点：①定界点：一般在数轴上只标出原点和界点即可，定边界点时要注意点是实心还是空心，若边界点含于集合为实心点，不含于解集为空心点；②定方向：“小于向左，大于向右”。例1、表示不等式组的解集如图所示，则不等式组的解集是_________．例2、x的解集在数轴上表示为如图所示的不等式组，求x的解集三、不等式的性质1、不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。（1）不等式基本性质有：①一个数大于另一个数，则另一个数一定小于这个数；若abba(对称性)②一个数大于另一个数，另一个数大于其它数，则这个数一定大于其它数；若ab,bcac(传递性)③不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；aba+cb+c(c∈R)④不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；c0时，abacbc⑤不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变；c0时，abacbc。特别提示：①、在不等式两边同乘以（或除以）同一个数（或式）时，必须先确定这个数的性质符号，然后再确定是否改变不等号的方向；②、如果不等式乘以0，那么不等号改为等号，所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不能为0，否则不等式不成立;（2）、运算性质有：①ab,cda+cb+d。②ab0,cd0acbd。③ab0anbn(n∈N,n1)。④ab0(n∈N,n1)。应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。2、不等式与等式性质的关系相同不管是等式还是不等式，都可以在它们的两边同加（减）一个数（整式），所得结果仍成立。不同在等式两边同乘（除以）一个正（负）数（整式），等式仍然成立；在不等式两边同乘（除以）一个正数（整式），不等号方向不变，在不等式两边同乘（除以）一个负数（整式），不等号方向一定改变。3、不等式性质的应用：主要有以下三类问题：(1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。(2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。(3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。例1、试判断4m2+4m+5和2(2m+1)的大小例2、若关于x的不等式（1-a）x＞2可化为x＜a-12,试确定a的取值范围不等式的概念及性质练习题一、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）1、不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变。（）2、如果a＞b，那么3－2a＞3－2b。（）3、如果a是有理数，那么－8a＞－5a。（）4、如果a＜b，那么a2＜b2。（）5、如果a为有理数，则a＞－a。（）6、如果a＞b，那么ac2＞bc2。（）7、如果－x＞８，那么x＞－8。（）8、若a＜b，则a＋c＜b＋c。（）9、0,0,0xxyy则（）10、若10,()02xyyx则（）11、若22,0,0abcacbc则（）12、若22,xzyzxy则（）13、若,0abab则（）14、若,cabcab则（）15、若12,12aa则（）二、填空题1、若ab，则12a12b，21a21b2、当a0时，0b时，0ab3、若0,2xyx则2y4、若22acbc，则3a3b5、实数a，b在数轴上的位置如图所示，用“＞”或“＜”填空：a－b____0，a＋b____0，ab____0，a2____b2，a1____b1，︱a︱____︱b︱6、若a＜b＜0，则21（b－a）____07、用不等式表示“a的5倍与b的和不大于8”为_______.8、a是个非负数可表示为_______.9、若0,ba1则-a1b10、若32,aa则a0三、选择题1、在数学表达式①-30;②4x+50;③x=3;④x2+x;⑤x-4;⑥x+2x+1是不等式的有()A.2个B.3个C.4个D.5个2、若m＜ｎ，则下列各式中正确的是（）A．m－3＞ｎ－3B。3m＞3nC。－3m＞－3nD。m／3－1＞n／3－13、若a＜0，则下列不等关系错误的是（）A．a＋5＜a＋7B。5a＞7aC。5－a＜7－aD。a／5＞a／74、下列各题中，结论正确的是（）A．若a＞0，b＜0，则b／a＞0B．若a＞b，则a－b＞0C．若a＜0，b＜0，则ab＜0D．若a＞b，a＜0，则b／a＜05、下列变形不正确的是（）A．若a＞b，则b＜aB．－a＞－b，得b＞aC．由－2x＞a，得x＞－a／2D．由x／2＞－y，得x＞－2y6、有理数b满足︱b︱＜3，并且有理数a使得a＜b恒成立，则a得取值范围是（）A．小于或等于3的有理数B．小于3的有理数C．小于或等于－3的有理数D．小于－3的有理数7、若a－b＜0，则下列各式中一定成立的是（）A．a＞bB．ab＞0C．a／b＜0D．－a＞－b8、若ab，且0c，那么在下面不等式①acbc②acbc③abcc④22acbc中成立的个数是（）A．1B．2C．3D．49、已知a、b、c都是实数，并且abc，那么下列式子中正确的是（）A．abbcB．abbcC．abbcD．abcc10、下列由题意列出的不等关系中,错误的是()A.a不是是负数可表示为a0B.x不大于3可表示为x3C.m与4的差是非负数,可表示为x-40D.代数式x2+3必大于3x-7，可表示为x2+33x-7四、解答题1、用不等式表示下列数量关系。（1）a与b的和大于a的2倍。（2）a的12与b的13的差是负数。（3）x与y之和的绝对值不大于x的一半的相反数（4）a与b两数和的平方不能大于3。（5）3x的绝对值不小于5。（6）a的6倍与3的差不大于1。2、若,ab试比较2ac与2bc的大小，ac与bc的大小。3、若aba且a是负数，求b的取值范围。五、应用题1、某校规定期中考试成绩的40%和期末考试成绩的60%的和作为学生成绩总成绩.该校骆红同学期中数学靠了85分,她希望自己学期总成绩不低于90分,她在期末考试中数学至少应得多少分?2、某次数学测验,共有16道选择题,评分方法是:答对一题得6分,不大或答错一题扣2分,某同学要想得分为60分以上,他至少应答对多少道题?(只列关系式)3、有一个两位数，个位上的数是m，十位上的数是n，如果把这个两位数的个位数与十位数对调，得到的两位数大于原来的两位数，那么m与n哪个大？