高考不等式经典例题

高考不等式专题精练1高考不等式经典例题【例1】已知a＞0，a≠1，P＝loga(a3－a＋1)，Q＝loga(a2－a＋1)，试比较P与Q的大小.【解析】因为a3－a＋1－(a2－a＋1)＝a2(a－1)，当a＞1时，a3－a＋1＞a2－a＋1，P＞Q；当0＜a＜1时，a3－a＋1＜a2－a＋1，P＞Q；综上所述，a＞0，a≠1时，P＞Q.【变式训练1】已知m＝a＋1a－2(a＞2)，n＝x－2(x≥12)，则m，n之间的大小关系为()A.m＜nB.m＞nC.m≥nD.m≤n【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递.m＝a＋1a－2＝a－2＋1a－2＋2≥2＋2＝4，而n＝x－2≤(12)－2＝4.【变式训练2】已知函数f(x)＝ax2－c，且－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，求f(3)的取值范围.【解析】由已知－4≤f(1)＝a－c≤－1，－1≤f(2)＝4a－c≤5.令f(3)＝9a－c＝γ(a－c)＋μ(4a－c)，所以1,9438,35故f(3)＝－53(a－c)＋83(4a－c)∈[－1,20].题型三开放性问题【例3】已知三个不等式：①ab＞0；②ca＞db；③bc＞ad.以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组成多少个正确命题？【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:ca＞db⇔bc－adab＞0.(1)由ab＞0，bc＞ad⇒bc－adab＞0，即①③⇒②；(2)由ab＞0，bc－adab＞0⇒bc－ad＞0⇒bc＞ad，即①②⇒③；(3)由bc－ad＞0，bc－adab＞0⇒ab＞0，即②③⇒①.故可组成3个正确命题.【例2】解关于x的不等式mx2＋(m－2)x－2＞0(m∈R).【解析】当m＝0时，原不等式可化为－2x－2＞0，即x＜－1；当m≠0时，可分为两种情况：(1)m＞0时，方程mx2＋(m－2)x－2＝0有两个根，x1＝－1，x2＝2m.所以不等式的解集为{x|x＜－1或x＞2m}；(2)m＜0时，原不等式可化为－mx2＋(2－m)x＋2＜0，高考不等式专题精练2其对应方程两根为x1＝－1，x2＝2m，x2－x1＝2m－(－1)＝m＋2m.①m＜－2时，m＋2＜0，m＜0，所以x2－x1＞0，x2＞x1，不等式的解集为{x|－1＜x＜2m}；②m＝－2时，x2＝x1＝－1，原不等式可化为(x＋1)2＜0，解集为∅；③－2＜m＜0时，x2－x1＜0，即x2＜x1，不等式解集为{x|2m＜x＜－1}.【变式训练2】解关于x的不等式ax－1x＋1＞0.【解析】原不等式等价于(ax－1)(x＋1)＞0.当a＝0时，不等式的解集为{x|x＜－1}；当a＞0时，不等式的解集为{x|x＞1a或x＜－1}；当－1＜a＜0时，不等式的解集为{x|1a＜x＜－1}；当a＝－1时，不等式的解集为∅；当a＜－1时，不等式的解集为{x|－1＜x＜1a}.【例3】已知ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，求不等式cx2＋bx＋a＜0的解集.【解析】由于ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，因此a＜0，解得x＜13或x＞1.(1)z＝x＋2y－4的最大值；(2)z＝x2＋y2－10y＋25的最小值；(3)z＝2y＋1x＋1的取值范围.【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标A(1,3)，B(3,1)，C(7,9).(1)易知直线x＋2y－4＝z过点C时，z最大.所以x＝7，y＝9时，z取最大值21.(2)z＝x2＋(y－5)2表示可行域内任一点(x，y)到定点M(0,5)的距离的平方，过点M作直线AC的垂线，易知垂足N在线段AC上，故z的最小值是(|0－5＋2|2)2＝92.(3)z＝2·y－(－12)x－(－1)表示可行域内任一点(x，y)与定点Q(－1，－12)连线斜率的2倍.因为kQA＝74，kQB＝38，所以z的取值范围为[34，72].【例1】(1)设x，y∈R＋，且xy－(x＋y)＝1，则()A.x＋y≥2(2＋1)B.x＋y≤2(2＋1)C.x＋y≤2(2＋1)2D.x＋y≥(2＋1)2(2)已知a，b∈R＋，则ab，a＋b2，a2＋b22，2aba＋b的大小顺序是.【解析】(1)选A.由已知得xy＝1＋(x＋y)，又xy≤(x＋y2)2，所以(x＋y2)2≥1＋(x＋y).解得x＋y≥2(2＋1)或x＋y≤2(1－2).因为x＋y＞0，所以x＋y≥2(2＋1).(2)由a＋b2≥ab有a＋b≥2ab，即a＋b≥2abab，所以ab≥2aba＋b.高考不等式专题精练3又a＋b2＝a2＋2ab＋b24≤2(a2＋b2)4，所以a2＋b22≥a＋b2，所以a2＋b22≥a＋b2≥ab≥2aba＋b.【变式训练1】设a＞b＞c，不等式1a－b＋1b－c＞λa－c恒成立，则λ的取值范围是.【解析】(－∞，4).因为a＞b＞c，所以a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0.而(a－c)(1a－b＋1b－c)＝[(a－b)＋(b－c)](1a－b＋1b－c)≥4，所以λ＜4.【例2】(1)已知x＜54，则函数y＝4x－2＋14x－5的最大值为；【解析】(1)因为x＜54，所以5－4x＞0.所以y＝4x－2＋14x－5＝－(5－4x＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝15－4x，即x＝1时，等号成立.所以x＝1时，ymax＝1.【变式训练2】已知x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，求(a＋b)2cd的取值范围.【解析】由等差数列、等比数列的性质得a＋b＝x＋y，cd＝xy，所以(a＋b)2cd＝(x＋y)2xy＝2＋xy＋yx，当yx＞0时，(a＋b)2cd≥4；当yx＜0时，(a＋b)2cd≤0，故(a＋b)2cd的取值范围是(－∞，0]∪[4，＋∞).例已知28,,0,1xyxy，求xy的最小值。解：222846446413223264yxyxxyxyxyxyxyxy。当且仅当2812xy时，即4.16xy，上式取“=”，故min64xy。例已知01x，求函数411yxx的最小值。解：因为01x，所以10x。所以414141159111xxyxxxxxxxx。当且仅当411xxxx时，即23x，上式取“=”，故min9y。例已知,,xyzR，且1xyz，求149xyz的最小值。解：设0，故有10xyz。高考不等式专题精练41491491491xyzxyzxyzxyzxyz24612。当且仅当149,,xyzxyz同时成立时上述不等式取“=”，即123,,xyz，代入1xyz，解得36，此时1236，故149xyz的最小值为36。例若正实数x，y满足26xyxy，则xy的最小值是。（变式：求2x+y的最小值为______）答案：18解：因为x0，y0，所以62262xyyxxy，2260xyxy，解得322xyxy或（舍）等号当且仅当2x=y=6时成立，故xy的最小值为18。变式答案：12解：因为x0，y0，所以21226()22xyxyxy整理得2(2)8(2)480xyxy，解得21224(xyxy或舍）等号当且仅当2x=y=6时成立，故2x+y的最小值为12。例若对任意0x，231xaxx恒成立，则a的取值范围是。答案：15a解：因为0x，所以12xx（当且仅当x=1时取等号），所以有21111312353xxxxx，即231xxx的最大值为15，故15a。