5-4实对称矩阵的相似对角化

信息系刘康泽第5-4节实对称矩阵的相似对角化信息系刘康泽实际问题中经常遇到一类特殊矩阵——实对称矩阵一、实对称阵的特征值与特征向量的性质【定理】实对称阵A的特征值必为实数。证明：设是A的任一个特征值，是A的属于的特征向量，则,0A，对上式两边取共轭向量，有A，或A两端求转置，得TTTA，信息系刘康泽由于A为实对称阵，故TAA，从而TTA即TT，0，()0T。两边右乘，得TTTA因0，故0T，于是，所以必为实数。TTTA信息系刘康泽【定理】实对称阵A的属于不同特征值的特征向量必定正交。证明：设12,是A的互不相同的特征值，12,分别是A的属于12,的特征向量，且12，于是111222,AA，因为TAA，则有11111()TTTTTAAA，两端右乘2，得11212122212()TTTTA，即1212()0T，因12，故120T，所以1与2正交。信息系刘康泽例1设3阶实对称矩阵A满足：1122,0AA其中：12(1,1,2),(4,3,)TTa，则a。解：由假设知：A有特征值2及0，1，2是相应的特征向量。又A实对称，则A的不同特征值对应的特征向量必正交，由此120T。即：743202aa。信息系刘康泽二、实对称矩阵的对角化【定理】设A是n阶实对称矩阵，12,,,n是A的n个特征值，则必存在正交矩阵P，使得121TnPAPPAP。证明：对实对称矩阵A的阶数n应用数学归纳法。当1n时，定理显然成立。假定对1n阶实对称矩阵,定理的结论成立，下面证明对n阶实对称矩阵A，定理的结论也成立。信息系刘康泽设1是A的任意一个特征值，1是A的属于1的一个实特征向量，不妨设1为单位向量。又设112(,,,)nP是以1为第一列的n阶正交矩阵，则112111112(,,,)TTTnTnPAPPAPA122211000000TTnTTnnnnAAAAA，（1）信息系刘康泽由于111PAP是实对称矩阵，则1A必为1n阶实对称矩阵，由归纳假设知存在1n阶正交矩阵2P，使得21212212TnPAPPAP，（2）设32100PP，故3P也是正交矩阵，由（2）式，有11133112120100100000PPAPAP信息系刘康泽121121200nPAP，（3）最后设13PPP，由于1P及3P都正交，则P必然也是正交矩阵，再由（1）及（3）式，有1113113()TPAPPAPPPAPP121133100nPPA。信息系刘康泽其中的12,,,n是A的n个特征值。【注1】若是实对称矩阵A的r重特征值，则必有()nrEAr，也就是说，对于实对称矩阵，几何重数总等于代数重数；【注2】若设正交矩阵12(,,,)nP，则由TPPE，有1,,0,,Tijijij且由jjjA，1,2,,jn知，正交矩阵P的第j列向量j恰好是A的属于特征值j的特征向量。故12,,,n形成一个两两正交的单位特征向量组（或标准正交向量组）。信息系刘康泽由此，实对称矩阵必可对角化，并且可通过正交矩阵来实现。实对称矩阵对角化的具体步骤如下：第一步：求出A的所有不同的特征值12,,,m，并设它们的重数分别是12,,,mnnn，其中1mjjnn；第二步：对于每一个特征值j，求解齐次线性方程组()0jEAX，得一个基础解系为12,,jjjjn，它们A的是属于j的()jjnnrEA个线性无关的特征向量，1,2,,jm；信息系刘康泽第三步：利用施密特正交化方法将12,,jjjjn正交化，得两两互为正交的一组向量12,,jjjjn，1,2,,jm；第四步：将12,,jjjjn单位化得12,,jjjjn，1,2,,jm，它们是一组单位正交向量组；第五步：将A的属于每个特征值j的特征向量正交化、单位化后得到的一个标准正交特征向量组（其向量组中有12mnnnn个向量）按列排成正交矩阵P1212111212122212(,,,,,,,,,,,,)个个个mmnnmmmnnnnP信息系刘康泽第六步：对A实现对角化,有121111222diag(,,,,,,,,,,,,)个个个mmmmnnnPAP其中j的排列顺序与P中标准正交向量组的排列顺序相对应。例2设542452222A=，求正交矩阵P，使1PAP成对角阵。解：A的特征多项式为信息系刘康泽2542452(1)(10)222EA=,可知A的特征值是121（二重），310。对于121，求解齐次方程组10EAX4422211442000221000EA=它的基础解系为1(1,1,0)T，2(1,0,2)T;信息系刘康泽将12,正交化后，得到111,1,0T，212211111,,222TTT;再将12,单位化后，得到111,,022T，2114,,323232T。对于310，齐次方程组100EAX的基础解系为：3(2,2,1)T,将3单位化后，得3221,,333T。信息系刘康泽将123,,按列向量排成一个正交矩阵11232321123232410332Q=，则1000100010TQAQ=。信息系刘康泽例3设三阶实对称阵A的特征值为1234,1（二重），且A的属于特征值1的特征向量是11,1,1T，求（1）A的属于特征值231的特征向量；（2）矩阵A。解：（1）设A的属于特征值231的特征向量为123,,Txxx，由于A的不同特征值对应的特征向量必定正交，即10T，得1230xxx，即1232132,,,xxxxkxk信息系刘康泽由此，得属于231的基础解系为231,1,0,1,0,1TT，将123,,正交化、单位化后的向量组123,,按列排成正交矩阵P：123111326111(,,)32612036P信息系刘康泽则1411PAP,因此1211121112TAPPPP。信息系刘康泽例5设,AB是两个n阶实对称阵，则存在正交矩阵P，使1PAPB的充分必要条件是A与B有完全相同的特征值。证明：充分性设A与B有完全相同的特征值12,,,n，则存在正交矩阵1P与2P，使得1122111122,nnPAPPBP，故111122PAPPBP，即1111212()()PPAPPB，信息系刘康泽设112PPP，易知P也是正交矩阵，从而有1PAPB。必要性若存在正交矩阵P，使得1PAPB，则A与B相似，从而A与B有完全相同的特征值。信息系刘康泽