信号检测与估计(3)

高斯色噪声中信号的检测信号检测关键是似然比计算，即求统计特性的概率密度函数（似然函数），为N个取样点的联合概率密度函数。色噪声各样值点的独立性不成立。思路：寻求观测信号的级数展开，要求级数的系数不相关。卡亨南-洛维（K-L）展开：正交函数集：},2,1),({ktfk),0(T在时间内满足01)()(0*Tjitftfjiji若为实函数01)()(0Tjitftfjiji接收信号)()()(tntstx将展开为正交函数)(tx11)()(lim)(kkkNkkkNtfxtfxtx条件是均方收敛于，即)(txNkkktfx1)(0}])()({[lim21NkkkNtfxtxE展开系数Tkkdttftxx0)()(此时，K-L展开的系数不再是波形在的直接采样，而是通过与相匹配的滤波器的输出在时刻的采样。kx)(txktt)(txNktfk,2,1),(Tt)()(11tTfth)(tx)()(tTfthNN1xNxTt如果要求展开系数是互不相关的，则正交函数集应满足什么要求？Nxxx,,21)}({tfk应有kjjjjkkxExxExE}]}{}][{{[而})()({}{0TkkdttftxExEkTkTksdttftsdttftntsE00)()(})()]()([{}]}{}][{{[jjkkxExxExE]})()()()(][)()()()({[0000TjTjTkTkdttftsdttftxdttftsdttftxEdtdntnEtftfTTjk])()([)()(00dtdtRtftfTTnjk])()()[(00要使kjjTTnjkdtdtRtftf])()()[(00则每个函数必须满足：)(tfj)()()(0tfdftRjjjTn)0(Tt结论：由解得的特征函数就是我们所求的正交函数。对接收信号进行展开)()()(0tfdftRjjjTn)(tfj)(txNkkkNtfxtx1)(lim)(Tkkdttftxx0)()(展开系数是互不相关的。Nxxx,,21平稳高斯色噪声中确知信号的检测基本思想：把观测信号做K-L展开，即用K-L系数唯一等效表示出来，于是似然函数就是这些不相关的系数的联合概率密度，可由各个系数的似然函数的积求出。)()()(:)()()(:1100tntstxHtntstxHNkkkNtfxtx1)(lim)(Tkkdttftxx0)()(})()({}{0TkkdttftxExETkiTkTkidttftsdttftndttftsE000)()(})()()()({则TkkdttftsHxE000)()(}|{TkkdttftsHxE011)()(}|{均值而方差kkkkkkxExE}}]{{[2于是]2)(exp[)21()|(2012/0nkkNkNnsxHxp]2)(exp[)21()|(22112/21nkkNkNnsxHxp)]2(21)2(21exp[)|()|()(01011101kkNkkkkkNkkksxssxsHxpHxpx)2(21)2(21)(ln010111kkNkkkkkNkkksxssxsxTkTkkkdttftsdttftxsx0101)()()()(22Tkdttftstx01)()]()(2[Tkkkdttftstxsx000)()]()(2[2TNkkkkkkNkkkdttfststxsxs0111111)()](21)([)2(21NTkkkkdttfststx0111)()](21)([令111)()(kkkktfsth则满足)(1thdftRsdhtRkTknkkTn10101)()()()()()(111tstfskkk类似，令100)()(kkkktfsth则满足)(0th)()()(001tsdhtRTn检测统计量THHTdtthtstxdtthtstxG0000011ln)()](21)([)()](21)([01等效为TTTHHTdtthtsdtthtsdtthtxdtthtx00010110001)()(21)()(21ln)()()()(01)()()(101tsdhtRTn即T0)(0th)(1th00选择s1选择s0T0)(tx+--+相关接收器广义匹配滤波器)()(11tTht同门限比较)(tx+-广义匹配滤波器)()(00tTht最优滤波器检测性能TTdtthtstxdtthtstxEHGE0000111})()](21)([)()](21)([{}|{TTdtthtstntsdtthtntsE0001011})()](21)()([)()]()(21[{TTdtthtstsdtthts0001011)()](21)([)()(21TTTdtthtsdtthtsdtthts000001011)()(21)()()()(21TTdtthtsdtthtstsHGE00001100)()(21)()](21)([}|{TTTdtthtsdtthtsdtthts000011010)()(21)()(21)()(TTnTdtthdhtRdtthts0100010)(])()([)()(TTnTdtthdhtRdtthts0001001)(])()([)()(注意可得2}|{}|{201GHGEHGE}}]{{[}var{2GEGEGTdtththtnGEG001)]()()[(}{TTndtdththhhtR001001)]()([)]()()[(Tdtththtsts00101)]()()][()([TTTdtthtsdtthtsdtthts000001011)()()()(2)()(21}|{2GHGE则]2)2/(exp[21)|(220GGGGHGp]2)2/(exp[21)|(221GGGGHGp判决规则为0ln01HHG)|()|(0110HDPHDPPedGGGGG022]2)2/(exp[21)2(]2exp[212/2GerfcdzzG