方程、同解方程与方程的同解定理

方程、同解方程与方程的同解定理1.代数式与代数式的值把数或表示数的字母，用有限次加、减、乘、除、乘方、开方（包括括号）连接起来的式子，叫做代数式。如：3＋5，4a，a+b。单独一个数或一个字母，也看作是代数式。用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做代数式的值。由于代数式的值不是一个固定的数，所以说到代数式的值时，必须指明当字母是什么数时的值。如当x＝6时，代数式2x＋3的值是15。2.等式与等式的性质用等号“＝”连接的式子，叫做等式。等式可以分为三类：（1）恒等式。在等号两边的代数式中，它含有的字母无论取什么值，都能使两边的值相等。例如：3＋5＝8，a+a=2a等，都是恒等式。（2）条件等式。在等号两边的代数式中，它含有的字母只有取某些值时，等号两边的值才能相等。这样的等式叫做条件等式。例如：2a＝6，只有当a＝3时，等号两边的值才能相等，所以是条件等式。（3）矛盾等式。在形式上是用等号连接的式子，但实质上无法使等号两边的值相等。这样的等式叫做矛盾等式。例如：a＋1＝a＋2，就是矛盾等式。对于恒等式和条件等式，有以下基本性质：（1）等式两边可以调换位置（对称性）。也就是说，如果A＝B那么B＝A。（2）等式中，相等的量可以传递（传递性）。也就是说，如果A＝B，B＝C，那么A＝C。（3）等式两边，加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。也就是说，如果A＝B，那么A±m＝B±m。（4）等式两边，乘同一个数，或除以同一个非零数，等式仍然成立。也就是说，如果A＝B，那么Am＝Bm，或，（n≠0）。3.方程、同解方程与方程的同解定理在中小学，通常都把方程描述为“含有未知数的等式”。因此，方程也可以和等式一样分为三类。（1）恒等方程。无论未知数取什么值，都能使方程两边的值相等。例如：x＋x＝2x，就是恒等方程。（2）条件方程。它含有的未知数只有取某些值时，方程两边的值才能相等。例如：2x＝6，只有当x＝3时，方程两边的值才能相等，所以是条件方程。（3）矛盾方程。无论未知数取什么值，都不能使方程两边的值相等。例如：x＋1＝x＋2，就是矛盾方程。一般地说，所谓解方程，就是确定这个方程是否有解，如果有解，则求出方程的解。小学数学中的简易方程，一般都是条件方程，不出现矛盾方程。所以不存在通过解方程，确定这个方程无解的现象。如果两个方程的解完全一样，我们就说这两个方程是同解方程。我们常常需要把一个方程变形成为另一个与它同解的方程，这种变形就叫作同解变形。常用的同解变形定理有：定理一，方程两边同时加上（或减去）同一个数或整式，所得方程与原方程同解。定理二，方程两边同时乘（或除以）同一个非零的数，所得方程与原方程同解。实际上，同解变形定理一就是等式的基本性质（3）。但是，同解变形定理二只是等式基本性质（4）的一部分，两条性质的区别在于：等式两边乘0，得0＝0，仍然是等式；而方程两边乘0，得0＝0，与原方程就不是同解方程了，所以同解变形不允许在方程两边同时乘上0。例如，由方程2x－5＝7，得到2x＝12，再得出x＝6，都是同解变形。还要注意方程的同解变形与代数式的恒等变形（简单地说，就是形变值不变的变形）之间的区别。例如：有时，也可运用恒等变形把原方程化简。如上例中方程左边先去括号得3x＋135＝210，就是运用了恒等变形。