小学奥数等差数列

数列的初步认识----等差数列数学是打开科学大门的钥匙。在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星：（1）1682，1758，1834，1910，1986，（）你能预测出下一次的大致时间吗？2062相差76你能根据规律在（）内填上合适的数吗？(3)1,4，9，16,（），36，…(4)1,2，3,5，8,13，21，（）…（1）3,4,5,6,7,8,9,()…(2)1,2,4,8,16,32,64,()…253412810象这样按照一定的规律排列的一组数,我们称为数列,其中每个数都叫做数列的项,排在第一列的叫第一项,(也叫首项)一般用a1表示,第二列的叫第二项,用a2表示,……排在第N列的数叫第N项,用an表示.+1+1+1+1+1+1×2×2×2×2×2×21×12×23×34×4等差数列等比数列斐波拉契数列平方数列•1、按数列中项的个数来分类：–有限数列：•如：0，1，1，2，4，7，13，24，44–无限数列：•如：1，3，5，7，9，11，13，……•2、按数列中项的变化规律来分类：–递增数列：•如：1，2，3，4，5，6，……，100–递减数列：•如：100，99，98，97，……，2，1–常数列：•如：1，1，1，1，1，1，……，1实战演练1•观察与分析下面各列数的排列规律，然后填空。•（1）5，9，13，17，，。•（2）1，4，9，16，，。•（3）4，5，7，11，19，，。212525363567•3、按数列中项的性质特点来分类：–等差数列：•如：0，1，2，3，4，5，6，……（自然数列）–递推数列：•如：1，1，2，3，5，8，13，21，……–周期数列：•如：1，2，3，1，2，3，1，2，3，1，……•找出下列各数列的规律，在横线上，填出适当的数。•（1）5，15，45，135，，。•（2）60，63，68，75，，。•（3）180，155，131，108，，。•（4）0，1，1，2，3，5，，。405121584958665813实战演练2高斯出生于一个工匠家庭，幼时家境贫困，但聪敏异常。上小学四年级时，一次老师布置了一道数学习题：“把从1到100的自然数加起来，和是多少？”年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使老师非常吃惊。那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？高斯（1777---1855），德国数学家、物理学家和天文学家。他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。有“数学王子”之称。高斯“神速求和”的故事:1+2+3+4+....+98+99+100=?等差数列Sn=n×(a1+an)2项数和首项与末项的和：1＋100＝101，第2项与倒数第2项的和：2＋99=101，第3项与倒数第3项的和：3＋98＝101，······第50项与倒数第50项的和：50＋51＝101，于是所求的和是：1001015050.2求S=1+2+3+······+100=？你知道高斯是怎么计算的吗？高斯算法：一、定义：例1：观察下列数列是否是等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，后一项与它的前一项的差等于同一个常数，那麽这个数列就叫做等差数列。这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。1，4，7，10，（13），16，…1,3,5,7,9,2,4,6,8,10…5，5，5，5，5，5，…1,3,5,7,10,13,16,19…公差=第二项－首项认识数列•观察：1，3，5，7，9，……，19第一项第二项第四项第三项第五项第十项首项(a1)末项(an)项数（n）(a2)(a3)(a4)(a5)1、等差数列要求从第2项起，后一项与前一项作差。不能颠倒。2、作差的结果要求是同一个常数。可以是整数，也可以是０。习:按规律把下列数列补充完整,并且指出那些是等差数列.1,3,6,8,16,18,(),(),76,7881,64,49,36,(),()35,28,22,17,(),()1,2,4,7,11,16,()2,3,5,8,12,17,()2,3,5,8,13,()1,3,7,15,()45,55,66,78,(),()实战演练1•数列：2，3，5，8，13，……，89•首项是：•末项是：•项数是：•55在这个数列当中是第项28998等差数列的和=（首项＋末项）×项数÷2Sn=n×(a1+an)2例题例、求首项为5，末项为155，项数是51的等差数列的和。等差数列的和=（首项＋末项）×项数÷2解：（5＋155）×51÷2=160×51÷2=80×51=4080例题例、1＋3＋5＋7＋……＋95＋97＋99等差数列的和=（首项＋末项）×项数÷2解：1＋3＋5＋7＋……＋95＋97＋99=（1＋99）×50÷2=2500例题例（1＋3＋5＋……＋1997＋1999）－（2＋4＋6＋……＋1996＋1998）解：（1＋3＋5＋……＋1997＋1999）－（2＋4＋6＋……＋1996＋1998）=（1＋1999）×1000÷2－（2＋1998）×999÷2=1000000－999000=1000例:已知等差数列1，4，7，10，13，16，…求它的第58项是多少？等差数列的第n项：等差数列的第n项=首项＋（n－1）×公差an=a1+(n–1)d.a1、an、n、d知三求一（提示：末项与首相之间差几个项差）例、一个等差数列，首项是3，公差是2，项数是10。它的末项是多少？求末项公式:末项=首项+（项数-1）×公差（提示：项差数与项数之间关系）例、一个有20项的等差数列，公差为5，末项是104，这个数列的首项是几？求首项公式：首项=末项-公差×（项数-1）（提示：项差数与项数之间关系）例、已知数列2、5、8、11、14……，47应该是其中的第几项？求项数公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1首项a1=2，公差d=5-2=3n=（47-2）÷3+1=16．即47是第16项．（提示：项差数与项数之间关系）例、在等差数首项是5、第20项是81，求公差是多少？例题求公差公式：公差=（末项－首项）÷（项数-1）（提示：项差数与项数之间关系）1.求等差数列3，7，11，…的第4，7项？解:已知a1=3,d=7-3=4,a4=a1+(n4-1)da7=a1+(n7-1)d=3+(4-1)×4=15=3+(7-1)×4=27例题例:在等差数列5，9，13…..401中,401是第几项?解:已知a1=5,d=9-5=4,an=401,求n=?an=a1+(n–1)dn=(an-a1)÷d+1=(401-5)÷4+1=396÷4+1=100例题例、有60个数，第一个数是7，从第二个数开始，后一个数总比前一个数多4。求这60个数的和。解：（1）末项为：7＋4×（60－1）=7＋4×59=7＋236=243（2）60个数的和为：（7＋243）×60÷2=250×60÷2=7500例题•1、求等差数列3，5，7，9…..的第10项和第100项。例题例、电影院的座位排列成扇形，第一排有60个座位，以后每一排都比前一排多两个座位，共有50排，请你算出第32排和第50排各有多少个座位？第一排：60第二排：60+2X(2-1)=62第n排：60+2X(n-1)=2n+58第32排：60+2X(32-1)=122最后一排即第50排：60+2X(50-1)=158=(25-5)÷(6-1)=20÷5=4a2=a1+da3=a1+2da4=a1+3da5=a1+4d=5+4=9=5+2×4=13=5+3×4=5+4×4=17=21这六个数为5,9,13,17,21,25例:在5和25之间插入4个数,使他们组成等差数列,这求这四个数?析:要插入这四个数,首先必须要利用公式求出公差.解:已知a1=5,n=6,an=25,求a2,a3,a4,a5例：求所有被4除余1的两位数之和。解：被4除余1的所有的两位数有13，17，21，……97它们组成了一组公差为4的等差数列.其中a1=13,d=4,an=97,求Sn=?n=(an-a1)÷d+1=(97-13)÷4+1=22Sn=(a1+an)×n÷2=(13+97)×22÷2=1210例题梯子的最高一级宽32厘米，最低一级宽110厘米，中间还有9级，各级的宽度成等差数列，计算中间一级的宽度。智慧大比拼1甲乙两人都住在同一胡同的同一侧，这一侧的门牌号码是连续的奇数。甲住21号，乙住193号。甲、乙两人的住处相隔着多少个门？智慧大比拼2在12和60之间插入3个数，使之组成等差数列。智慧大比拼3回顾本章知识点：求等差数列和的公式：等差数列的和=（首项＋末项）×项数÷2求第几项公式：项数=（末项－首项）÷公差＋1求末项公式:末项=首项+（项数-1）×公差求等差数列第n项公式：等差数列的第n项=首项＋（n－1）×公差求首项公式：首项=末项－公差×（项数－1）求公差公式：公差=第二项－首项或：公差=(末项－首项）÷（项数－1）课堂小结:一个等差数列的第一项是5.6,第六项是20.6,求它的第四项.智慧大比拼4