二元一次不定方程的解法

二元一次不定方程的解法【摘要】本文主要通过三个实例详尽而具体的说明了二元一次不定方程的解法．【关键词】不定方程;通解;解法不定方程是数论中一个古老的分支，至今仍是一个很活跃的数学领域．中小学数学竞赛也常常因为某些不定方程的解法巧妙而引入不定方程问题．下面，就通过具体实例，来示范说明一下不定方程的解法．定义形如(,,,0)axbycabczab的方程称为二元一次不定方程，求原方程的整数解的问题叫做解二元一次不定方程．定理1原方程有整数解的充分必要条件是(,)|abc．推论若(,)1ab，则原方程一定有整数解．定理2若(,)1ab，且(,)xy为原方程的一个整数解(特解)，则原方程的全部整数解(通解)都可表成xxbt，,()yyattz或xxbt，,()yyattz．由上述定理可知，求不定原方程整数解的步骤是:①x．②判定原方程是否有解:当|dc时，原方程无整数解;当|dc时，原方程有整数解．在有整数解时，方程同解变形，边除以d，使原方程转化为(,)1ab的情形．③求特解，写通解．(注:通解形式不唯一)可见，求特解是解二元一次不定方程的关键．首先，对方程的未知数系数较小，或系数与常数项有和、差、约数、倍数关系时观察法是最简单易行的便捷方法．例1求不定方程3520,(3,5)1(,),()3840(5,1)55,1351717(5,7)127,15()3710725(37,107)1,1|25251071312437,43712,(1237))393713,xyxyxxbtyyattzyxztxtytxyxtyttzxyxyyytzytytty1248107,3373710737437121237337437439444010737233,373314,33481.37(26)1079137(2625)107(925)256501078107(6)22537337(yyxtytkzykykytkkktzktktxttytt''''''6),()2625650925225351433514033(1)5(28)0(3,5)115,28315283,()0,(,)1,|,,,(),(tzxyxyxyxyxtytxtyttzaxbycababbcxbtykatkcaxbykatbkcxyaxbyccbkxcby的整数解．解∵(15,25)5,5|100，∴原方程有整数解．1525100xy3520,(3,5)1xy．利用观察法可知(5,1)是这个方程的特解，因此方程的全部整数解是55,xt13yt{，(t∈Z)．其次，对于用观察法看不出特解，或未知数系数较大时，我们则可采用下列几种方法:1、观察法这种方法很简单,它是通过观察便能看出二元一次不定方程的特解的方法。下面看个例子:例:求不定方程51717xy的整数解解:根据二元一次不定方程有解的充要条件,∵(5,7)1∴方程有整数解经观察得:2,1xy是一个特解∴方程的所有整数解为:27,15xtyt()tz从例题中我们看出,这种方法显然很简便,对于一些较简单的二元一次不定方程易观察也很适用,但它毕竟也有弊端,有些方程不容易观察,所以我们还需寻求新的方法。2.分离整数法此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剰下部分仍为整数，令其为一个新的整数变量，据此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解．例：解不定方程3710725xy．解∵(37,107)1,1|25，∴原方程有整数解．先用x，y的系数中较小的37去除方程的两边，并解出x，得25107xy除以37．再把上式右边y的系数和常数项的整数部分分离出来，写成137(124)xyy除以37．由于x，y都是整数，13y也是整数，则124y除以37也一定是整数，则可令3y(由于此时－12+4×3除37∈Z)，则有8x．补充说明假设通过原式中未看出特解，可令124y除37,43712,(1237)tzytyt除4)39t则t除4z，有0t，从而有3y，可推得8x．这样得原不定方程的特解为8x，3y．∴原不定方程的通解为8107,337xtyt{，(t∈Z)．3.逐渐减小系数法此法主要是利用变量替换，使不定方程未知数的系数逐渐减小，直到出现一个未知量的系数为±1的不定方程为止，直接解出这样的不定方程(或可以直接能用观察法得到特解的不定方程为止，再依次反推上去)得到原方程的通解．例：解不定方程3710725xy．解∵(37,107)1,1|25，∴原方程有整数解．由37107，用y来表示x，得25107xy37=1－3y+－12+4y除37．则令124y37kz，即43712yk由437，用k来表示y，得1237yk439kk除4．则令4ktz，得4kt将上述结果一一代回，得原方程的通解为8107,337xtyt{，(t∈Z)．4.辗转相除法此法主要借助辗转相除式逆推求特解．例：解不定方程3710725xy解∵10737233,3710725xy∴原方程有整数解．用辗转相除法求特解:373314,33481.从最后一个式子向上逆推得到37(26)10791，∴37(2625)107(925)25则特解为2625650x，925225y通解为6501078107(6)xtt，22537337(6),()ytttz，或改写为8107,337xtyt{，(t∈Z)．5.欧拉算法受辗转相除法的启示，此题可简化为采用欧拉算法的方法求解．其实质仍是找出(a，b)表为a，b的倍数和时的倍数，从而求出特解．例5解不定方程3710725xy解∵(37,107)1,1|25，∴原方程有整数解．（见抄）∴37(26)10791，37(2625)107(925)25则特解为2625650x，925225y通解为6501078107(6)xtt，22537337(6),()ytttz或改写为8107,337xtyt{，(t∈Z)．6.同余替换法此法主要是取未知量系数绝对值较小者作为模，对另一系数和常数项取同余式，将其值替换为较小的同余值，构成一个新的不定方程，据此类推，直到某不定方程的一个变量系数为±1为止，然后一一代回，直接求出原不定方程的通解．例：解不定方程3710725xy解∵(37,107)1,1|25，∴原方程有整数解．（见抄）则原方程转化为40kt，即4kt，将其代入(1)，有337yt再将上式代入原方程，有8107xt，综上得原方程的通解为8107,337xtyt{，(t∈Z)．最后，对于未知数系数和常数项之间有某些特殊关系的不定方程，如常数项可以拆成两未知数系数的倍数的和或差的不定方程，可以采用分解常数项的方法去求解方程．例:：解不定方程35143xy．解35143xy，351403xy，3(1)5(28)0xy∵(3,5)1，15,283xtyt，∴原方程的通解为15xt，283,()yttz．定理:考虑二元一次方程axbyc(1)其中a、b、c是整数,且0,(,)1,|,ababbc则方程(1)的一切整数解可以表示成,xbtykat其中t=0、±1,±2,⋯,k=c除b证明:(Ⅰ)令,,xbtykatkc除b,那么()axbykatbkc即(2)是(Ⅰ)的解.(Ⅱ)设'',xy是方程(1)的任一整数解,则''axbyc则|bc，可设cbk,则''(xcby除a）'(bkby除a）'()bky除a）由于',xy是方程(1)的整数解,故'x必为整数,从而'()bky除a也必为整数。又(,)1ab,故'|()aky,可设''tky除a,得''xbt,''ykat.因此,x′,y′可表示成(2)的形式。由(Ⅰ)、(Ⅱ)知,(2)式表示了方程(1)的一切整数解,证毕。推论:将定理中条件|bc换为|ac时,方程(1)的一切整数解可表示成,xkbtyat当方程系数|ac和|bc均不成立时,可以用行列式变换使得第一项或第二项的系数能整除c。再根据定理或推论来求出原方程的整数解。例：.求74100xy的一切整数解。解:因为(7,4)1且4|100,由定理可得所求解为4,257xtyt其中0,1,2,t例：.求1073830xy的一切整数解。解:107和38均不能整除30,故不能直接套用定理。我们做行列式变换:（抄）这样原方程可化为:7(145)3(3)30xyyx由于3|30,这样,由定理知原方程的解为:1453,3107xytyxt即5038,140107xtyt,其中0,1,2,t7、参数法这种方法是解出系数绝对值较小的未知数,将其写成几部分和的形式,然后引进参数,于是便又得到一个新的不定方程,这时用观察法便可得出新方程的特解,然后再用代入法就可得出原方程的特解,进而求出通解。下面用例子说明此种方法的解题过程:例:求719213xy整数解解:从系数绝对值较小的x解之得:（见抄）于是得到新不定方程753uy②这时用观察法便知1u，2y是方程②的特解将2y代入①得25x所以原方程的通解为:2519xt，72yt()tz注:有时要求求不定方程的正整数解,这时只需x,y均大于0解不等式组便可求t的范围,然后t取整数就可以得出正整数解了。总之，二元一次不定方程的解法很多，也很巧妙、有趣．要想灵活的去求解二元一次不定方程，除了要掌握各种具体的解法以外，还要学会具体问题具体分析，并要具有一定的将所学知识融会贯通的能力．不定方程是数论中一个古老的分支,至今仍是一个很活跃的数学领域.中小学数学竞赛也常常因为某些不定方程的解法巧妙而引入不定方程问题.下面,我就通过三道具体实例,来示范说明一下不定方程的解法.定义形如(,,,0)axbycabczab的方程称为二元一次不定方程,求原方程的整数解的问题叫做解二元一次不定方程.定理1原方程有整数解的充分必要条件是(,)|abc.推论若(,)1ab,则原方程一定有整数解.定理2若(,)1ab,且(,)xy为原方程的一个整数解(特解),则原方程的全部整数解(通解)都可表成,()xxbtyyattz或xy==xy00+-batt,,(t∈Z).由上述定理可知,求不定原方程整数解的步骤是:①(,)abd.②判定原方程是否有解:当|dc时,原方程无整数解;当|dc时,原方程有整数解.在有整数解时,方程同解变形,两边除以d,使原方程转化为(,)1ab的情形.③求特解,写通解.(注:通解形式不唯一)可见,求特解是解二元一次不定方程的关键.首先,对方程的未知数系数较小,或系数与常数项有和、差、约数、倍数关系时观【参考文献】［1］人民教育出版社中学数学室．代数与初等函数．北京:人民教育出版社，1999．［2］王元．高等师范院校小学教育专业数学教材·初等数论．北京:人民教育出版社，2003．［3］王进明．大学本科小学教育专业教材·初等数论．北京:人民教育出版社，2002．