实变函数与泛函分析34

习题讲解第三章测度论1设E是直线上的一有界集，，则对任意小于的正数c，恒有子集E1，使0EmEmcEm1[,]Eab证明：由于E有界，故不妨令令f(x)=m*(E∩[a,x])，则f(a)=0,f(b)=m*E,下证f(x)在[a,b]上连续[ax1x2b]12212112111212]),([]),[(]),[(]),[(]),[(]),[(]),[()()(xxxxmxxEmxaEmxxEmxaEmxaEmxaEmxfxf从而f(x)在[a,b]上（一致）连续；由界值定理知，存在ξ∈[a,b],使f(ξ)=c,令E1=E∩[a,ξ]，则E1满足要求.任取x1,x2∈[a,b],x1x2，则[ax1x2b]f(x)=m*(E∩[a,x])2设A，B是Rn的子集，A可测，证明等式)()()()(BmAmBAmBAm)()()()(BmAmBAmBAm两式一结合即得()()()()ccTABmABmAmBATBmBmBAmBA取，有（）取，有（）()()ncATRmTmTAmTA由于可测，故，有证明：注意:不要说直接两式相减,因为m*B可能为无穷.3设A，B是Rn的子集，证明不等式)()()()(BmAmBAmBAm两式一结合即得）（)()(cOBmOBmBmBmAmBmOmBmOBAmOBmOBmOBAmOBmBAmBAmBAmc))(()()())(()()(）（）（)())(())(())((ccOBmOBAmOBAmOBAmBAmO）（可测，故由于AmmOOAOG且，使型集作证明：注意:不要说直接两式相减,因为m*B可能为无穷.**()()0()nmOEmBEn且为可测集，，，则证明：令OOEBOnn1为可测集，故EO*()0mOE从而说明：也可通过来证明1nnHA令)(HEHEnREnnBEA)(0)(nABmnn设，存在可测集列{An},{Bn}，使得且，试证明E可测.)(EOOE进一步为可测集。45直线上可测集全体A的势为22A再由Bernstein定理知2222PRA从而又P，R的势都为22PRA证明：令Cantor集为P，由于Cantor的测度为0，从而它的子集都可测，故