实变函数与泛函分析41

第一节可测函数的定义及性质第四章可测函数新的积分（Lebesgue积分,从分割值域入手）iniibamEdxxfL10],[lim)()(yiyi-1})(:{1iiiyxfyxEiiiyy1用mEi表示Ei的“长度”问题：怎样的函数可使Ei都有“长度”(测度)?1可测函数定义][,afERa例(1)零集上的任何函数都是可测函数。注：称外测度为0的集合为零集；零集的子集，有限并，可数并仍为零集定义：设f(x)是可测集E上的实函数(可取)，若可测，则称f(x)是E上的可测函数(2)简单函数是可测函数iniEE1)()(1xcxfiEniiiiiExEExEx10)(可测][,afERa可测函数注：Dirichlet函数是简单函数01若(Ei可测且两两不交），f(x)在每个Ei上取常值ci，则称f(x)是E上的简单函数；（3）可测集E上的连续函数f(x)必为可测函数|)()(|||,0,000xfxfxx时，有当即对比：设f(x)为(a,b)上有限实函数，0()(,)fxxab在处连续)()(lim00xfxfxx若)),((),(00)(,0,0xfxOOf使得即)),((),(00)(,0,0xfxOxfOx时，有当即()()()],[0baxf(x)在处连续(对闭区间端点则用左或右连续))),((),(00)(,0,0xfxOEOf使得若Ex0设f(x)为E上有限实函数，称f(x)在处连续可测集E上的连续函数f(x)定为可测函数为可测集故EGEaf][),()(,0,)()),((),(aOEOfaxfxfxxx使得对(,)[]xxfaOEE即证明：任取x∈E[fa],则f(x)a,由连续性假设知，()x０f(x0)+εf(x0)f(x0)-εa[](,)xfaxxEGO令[][](,)(,)[]()()xxfafaxxfaxExEGEOEOEE另外则G为开集，当然为可测集，且[][](,)()xfafaxxEEOEGE所以反之⑷R中的可测子集E上的单调函数f(x)必为可测函数。aIax1x2})(|{),[})(|{),(][{axfxIIEaxfxIIEafaaaaE当当由f单调增知下面的集合为可测集})(|inf{axfxIa令证明：不妨设f单调增，对任意a∈R⒊可测函数的等价描述可测][,)2(afERa可测][,)3(afERa可测][,)4(afERa[](5),,,(|()|)afbabRabEfx可测充分性要求证明：利用（1）与（4），（2）与（3）互为余集，以及[]1[][][]11[][]1[][][]1[]()fafaafanfnnfanfaafbfafbnfanEEEEEEEEEE),)1((][可测即afERa⒈定义：设f(x)是可测集E上的实函数，则f(x)在E上可测对前面等式的说明)(][1][1][11nnafnafnafEEE)),[(),(),[1111nnnnaaa([a-1/na)(][1][1][11nnafnafnafEEE)),((),[),(1111nnnnaaa([aa+1/n⒋可测函数的性质][1][1][][1afnnafafafEEEEE⑴可测函数关于子集、并集的性质nnEE1反之，若,f(x)限制在En上是可测函数，则f(x)在E上也是可测函数。11,EEE即:若f(x)是E上的可测函数,可测，则f(x)限制在E1上也是可测函数；若m(E[f≠g])=0,则称f(x)=g(x)在E上几乎处处成立,记作f(x)=g(x)a.e.于E。（almosteverywhere）注：在一零测度集上改变函数的取值不影响函数的可测性证明：令E1=E[f≠g]，E2=E[f=g]，则mE1=0从而g(x)在E1上可测，即：设f(x)=g(x)a.e.于E，f(x)在E上可测，则g(x)在E上也可测注：用到了可测函数关于子集、并集的性质另外f(x)在E2上可测，从而g(x)在E2上也可测，进一步g(x)在E=E1∪E2上也可测。⑵可测函数类关于四则运算封闭即:若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x)+g(x),f(x)-g(x),f(x)g(x),f(x)/g(x)仍为E上的可测函数。可测，：只要证证明][][,gafagfEERa[][][],()(),()()()fagfrgarrQxEfxagxrQfxragxxEE任取则从而使即a-g(x)rf(x)类似可证：设f(x),g(x)是E上可测函数，则为可测集。][gfE[][][]()frgarfagrQEEE反之也成立[][][]()fagfrgarrQEEE从而[][][]()fagfrgarrQEEE从而可测证明中利用了Q是可数集和R中的稠密集两个性质[][][],()(),()()()fagfrgarrQxEfxagxrQfxragxxEE任取则从而使即a-g(x)rf(x)若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x)g(x)仍为E上的可测函数。作业：若f(x),g(x)是E上的可测函数,则f(x)-g(x),f(x)/g(x)为E上的可测函数再利用f(x)g(x)={(f(x)+g(x))2-(f(x)-g(x))2}/4即可2[][]00[]{fafaEaEEafaE证明：首先f2(x)在E上可测，因为对任意a∈R⑶可测函数类关于确界运算和极限运算封闭。推论：可测函数列的极限函数仍为可测函数（连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。][1][][1][afnaafnannEEEE)}({infsup)(inflim)}({supinf)(suplim)}(inf{)()}(sup{)(xfxfxfxfxfxxfxmnmnnnmnmnnnnn若fn(x)是E上的可测函数,则下列函数仍为E上的可测函数。对上式的说明：][1][afnanEE)}(inf{)(xfxnxSxS,)1(的下界，即是数集xSxS使得即的最大下界，是数集,,0)2(Sinf下确界：[]1111[][]fannfafannEEE比较：([a-1/na例：R1上的可微函数f(x)的导函数f`(x)是可测函数利用了可测函数列的极限函数仍为可测函数.从而f`(x)是一列连续函数（当然是可测函数）的极限，故f`(x)是可测函数.nnnoxxfxfxxfxxfxf11)()(lim)()(lim)('证明：由于gn(x)例设{fn}是可测函数列，则它的收敛点全体和发散点全体是可测集.注意：函数列收敛与函数列收敛于f之间的不同.[limlim]nnnnEff[limlim]nnnnEff证明：发散点全体为收敛点全体为limlimnnnnff在利用和是可测函数即可再⒌可测函数与简单函数的关系可测函数f(x)总可表示成一列简单函数的极限12|)()(|nnmMxfxMmMmMmn0次等分nn2可测函数与简单函数的关系注：当f(x)是有界函数时，上述收敛可做到一致收敛122[]0,1,2,,212[]()nnkknnkfknnfnxExnxE)(lim)(xxfnn|)(||)(|21xx)}({xn若f(x)是E上的可测函数,则f(x)总可表示成一列简单函数的极限，而且还可办到例：设f(x)是R上连续函数，g(x)是E上可测函数，则f(g(x))是可测函数。证明：要证f(g(x))是可测函数，只要证对任意a，E[fga]={x|f(g(x))a}可测即可,g可测f连续{x|f(g(x))a}=(fg)-1((a,+∞))=g-1(f-1((a,+∞)))f-1((a,+∞))=),(iiiba))),((()),((11iiiiiibagbag例：设f(x)是R上连续函数，g(x)是E上可测函数，则f(g(x))是可测函数。注：f(x)是R上可测函数，g(x)是R上连续函数，f(g(x))不一定是可测函数（利用Cantor函数构造，参见：《实变函数》，周民强，p114)证明：要证f(g(x))是可测函数，只要证对任意a，m(E[fga])={x|f(g(x))a}可测即可,由于f在F=R上连续，故F[fa]为R中的开集，),(][iiiafbaF又直线上的开集可表示成至多可数个互不相交的开区间的并，故不妨令[][]iifgaagbiEE为可测集再由g可测，可知例：设f(x)是R上连续函数，g(x)是E上可测函数，则f(g(x))是可测函数。11()()(())()()iiniEiniEixcxfxfcxE若为简单函数，则仍为上简单函数。注：)(lim)(xxgnn)}({xn另证：若g(x)是E上的可测函数,则g(x)总可表示成一列简单函数的极限))((lim))(lim())((xfxfxgfnnnn因为f(x)连续，故所以f(g(x))是简单函数列的极限，故为可测函数