实变函数与泛函分析44

第四节可测函数结构第四章可测函数可测函数简单函数是可测函数可测函数总可表示成一列简单函数的极限（当可测函数有界时，可作到一致收敛）问：可测函数是否可表示成一列连续函数的极限？可测集E上的连续函数定为可测函数鲁津定理实变函数的三条原理（J.E.Littlewood）（1）任一可测集差不多就是开集（至多可数个开区间的并），闭集EF,0设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则使得m(E-F)ε且f(x)在F上连续。（去掉一小测度集，在留下的集合上成为连续函数）即：可测函数“基本上”是连续函数（3）任一点点收敛的可测函数列集差不多就是一致收敛列（2）任一可测函数差不多就是连续函数鲁津定理的证明证明：由于mE[|f|=+∞]=0，故不妨令f(x)为有限函数(1)当f(x)为简单函数时，)()(1xcxfiEnii令可测且两两不交）其中iiniEEE,(1),,2,1()(,0niFEmFEEniiiii，使中的闭子集，作及每个ninniiiFEmFEm11)()(iniFF1当x∈Ei时，f(x)=ci，所以f(x)在Fi上连续，而Fi为两两不交闭集，故f(x)在上连续显然F为闭集，且有对f(x)在F连续的说明若f(x)在Fi上连续，而Fi为两两不交闭集，则f(x)在上连续iniFF1故对任意x`∈O(x,δ)∩F，有|f(x`)-f(x)|=0，故f连续0),()(),(),(1iiniFxOFxOFxO从而Fi0()xiniFFx1证明：任取则存在i0，使得x∈Fi0，f(x)=ci0，ciiiF)(0又Fi为两两不交闭集，从而x在开集中ciiiFxO)(),(0所以存在δ0,使得对f(x)在F连续的说明说明：取闭集的原因在于闭集的余集为开集，开集中的点为内点，从而可取x∈Fi足够小的邻域不含其他Fi中的点函数在每一块上为常值，故在每一块上都连续，但函数在R上处处不连续QxQRxxD10{)(条件Fi为两两不交闭集必不可少，如：鲁津定理的证明(2)当f(x)为有界可测函数时，存在简单函数列{φn(x)}在E上一致收敛于f(x)，1211)()(nnnnnnFEmFEmEFFF，且，则令由{φn(x)}在F连续及一致收敛于f(x)，易知f(x)在闭集F上连续。上连续在且使，，存在闭集及每个nnnnnFxFEmEFxn)()()(,02利用(1)的结果知鲁津定理的证明则g(x)为有界可测函数，应用(2)即得我们的结果（连续函数类关于四则运算封闭）)|)(|1)()((|)(|1)()(xgxgxfxfxfxg(3)当f(x)为一般可测函数时，作变换注：(1)鲁津定理推论鲁津定理（限制定义域）（即：去掉某个小测度集，在留下的集合上连续）（在某个小测度集上改变取值并补充定义变成连续函数）RE若f(x)为上几乎处处有限的可测函数，使得在F上g(x)=f(x)且m(E-F)ε（对n维空间也成立），闭集EF,0则及R上的连续函数g(x)开集的余集是闭集闭集的余集是开集aibi直线上的开集构造直线上的任一非空开集都可唯一地表示成有限个或可数个互不相交的开区间的并),(iiicbaF鲁津定理推论证明的说明鲁津定理：设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则使得m(E-F)ε且f(x)在F上连续，闭集EF,0例对E=R1上的a.e.有限的可测函数f(x)，一定存在E上的连续函数列{fi(x)}使fi(x)→f(x)a.e.于EExfxgn于即)()(1[||]0,()0(0)ngfnnmEmEFn从而)()(xgxfini令，即得我们所要的结果。nnnnnnnFEmxfxgFxgEEF11)()()()(,且上使在上的连续函数，及闭集证明：由鲁津定理的推论知再由Riesz定理，存在{gn(x)}的子列{gni(x)}使gni(x)→f(x)a.e.于E，对上例的说明（只能作到几乎处处收敛）：说明：若fn→f于R，fn连续，则f的连续点集是R的稠密集（参见：实变函数，周民强，p-43）鲁津定理的结论m(E-F)ε不能加强到m(E-F)=0（参见：实变函数，周民强，p-116）QxQRxnnmxfxm10{)())!(coslim(lim虽然我们有但不存在R上的连续函数列fn使得fn→f于E设f(x)是E上a.e.有限的实函数，对δ0，存在闭集，使且f(x)在上连续，则f(x)是E上的可测函数，令nnEE1)(0)()(1nEEmEEmnn则0)(EEm从而EE)(EEmE注：此结论即为鲁津定理的逆定理EE)()(1nnEEEE从而f(x)在上可测，进一步f(x)在上可测。nnEEm1)(n1EEn证明：由条件知，，存在闭集使且f(x)在En连续，当然f(x)在En上可测，