浅谈高考中数列求通项公式的常见题型与解题方法

1浅谈高考中数列求通项公式的常见题型与解题方法高考对数列的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏．特别是求递推数列通项公式更是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为中学中所研究的等差或等比数列，下面就我对求递推数列通向公式的常用方法做一个浅显的分析与提炼：一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列na是递增数列，前n项和为nS，且931,,aaa成等比数列，255aS．求数列na的通项公式.解：设数列na公差为)0(dd∵931,,aaa成等比数列，∴9123aaa，即)8()2(1121daadadad12∵0d，∴da1………………………………①∵255aS∴211)4(2455dada…………②由①②得：531a，53d∴nnan5353)1(53点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。二、公式法利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，已知数列的前n项和nS与na的关系，na可用公式2111nSSnSannn求解。例2．已知数列na的前n项和nS满足1,)1(2naSnnn．求数列na的通项公式。解：由1121111aaSa，当2n时，有nnnnnnaaSSa)1(2)(21122,)1(22,)1(221222111aaaaaannnnnn11221122(1)2(1)2(1)nnnnnaa2经验证11a也满足上式，所以])1(2[3212nnna点评：利用公式211nSSnSannnn求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并．三、累加法：由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。利用1211()()nnnaaaaaa求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如类型递推公式为)(1nfaann的递推数列通项公式的基本方法（()fn可求前n项和）.解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累加法(逐差相加法)求解。例3．已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。解：由121nnaan得121nnaan则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn所以数列{}na的通项公式为2nan。].)1(2[323])2(1[2)1(2)]2()2()2[()1(21211211nnnnnnnnn3点评：本题解题的关键是把递推关系式121nnaan转化为121nnaan，进而求出11232211()()()()nnnnaaaaaaaaa，即得数列{}na的通项公式。四、累乘法：利用恒等式321121(0,2)nnnnaaaaaanaaa求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如:1()nnagna的递推数列通项公式的基本方法(数列()gn可求前n项积).（1）递推公式为nnanfa)(1解法：把原递推公式转化为)(1nfaann，利用累乘法(逐商相乘法)求解。例4.已知数列na满足321a，nnanna11，求na。解：由条件知11nnaann，分别令)1(,,3,2,1nn，代入上式得)1(n个等式累乘之，即1342312nnaaaaaaaann1433221naan11又321a，nan32点评：一般地，对于型如1na=f(n)·na类的通项公式，当)()2()1(nfff的值可以求得时，宜采用此方法。五、倒数变换：将递推数列1nnncaaad(0,0)cd,取倒数变成1111nndacac的形式的方法叫倒数变换.例6．已知数列na*()nN中,11a,121nnnaaa,求数列na的通项公式.4解:将121nnnaaa取倒数得:1112nnaa,1112nnaa,1na是以111a为首项,公差为2的等差数列.112(1)nna,121nan.点评：倒数变换有两个要点需要注意:一是取倒数.二是一定要注意新数列的首项,公差或公比变化了.六、待定系数法（构造法）求数列通项公式方法灵活多样，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察、分析、推理能力要求较高。通常可对递推式变换，转化成特殊数列（等差或等比数列）来求解，这种方法体现了数学中化未知为已知的化归思想，而运用待定系数法变换递推式中的常数就是一种重要的转化方法。（1）、通过分解常数，可转化为特殊数列{an+k}的形式求解。一般地，形如a1n=pan+q（p≠1，pq≠0）型的递推式均可通过待定系数法对常数q分解法：设a1n+k=p（an+k）与原式比较系数可得pk－k=q，即k=1pq，从而得等比数列{an+k}。例6．已知数列na满足11a，且132nnaa，求na．解：设)(31tatann，则1231ttaann，)1(311nnaa1na是以)1(1a为首项，以3为公比的等比数列111323)1(1nnnaa1321nna点评：求递推式形如qpaann1（p、q为常数）的数列通项，可用迭代法或待定系数法构造新数列)1(11pqappqann来求得,也可用“归纳—猜想—证明”法来求，这也是近年高考考得很多的一种题型．例6．设数列na：)2(,123,411nnaaann，求na.解：设BAnbaB，Anabnnnn则，将1,nnaa代入递推式，得512)1(31nBnAbBAnbnn)133()23(31ABnAbn13323ABBAA11BA1nabnn取…（１）则13nnbb,又61b，故nnnb32361代入（１）得132nann说明：（1）若)(nf为n的二次式，则可设CBnAnabnn2;(2)本题也可由1231naann,1)1(2321naann（3n）两式相减得2)(3211nnnnaaaa转化为qpbbnn1求之.例6．已知数列na满足11a，123nnnaa)2(n，求na．解：将123nnnaa两边同除n3，得nnnnaa321311133213nnnnaa设nnnab3，则1321nnbb．令)(321tbtbnntbbnn313213t．条件可化成)3(3231nnbb，数列3nb是以3833311ab为首项，32为公比的等比数列．1)32(383nnb．因nnnab3,)3)32(38(331nnnnnba2123nnna．(2)f(n)为等比数列，如f(n)=qn(q为常数)，两边同除以qn，得111nnnnqapqaq，令bn=nnqa，可转化为bn+1=pbn+q的形式。2、通过分解系数，可转化为特殊数列}{1nnaa的形式求解。这种方法适用于nnnqapaa12型的递推式，通过对系数p的分解，可得等比数列}{1nnaa：设)(112nnnnkaahkaa，6比较系数得qhkpkh,，可解得kh,。例7、数列na中，nnnaaaaa122123,2,1，求数列na的通项公式。解：由nnnaaa1223得,313212nnnaaa设)(112nnnnkaahkaa比较系数得3132khhk，，解得31,1hk或1,31hk若取31,1hk，则有)(31112nnnnaaaa∴}{1nnaa是以31为公比，以11212aa为首项的等比数列∴11)31(nnnaa由累加法可得112211)()()(aaaaaaaannnnn=11)31()31()31()31(232nn=1311)31(11n=11)31(43471)31(143nn点评：递推式为21nnnapaqa（p、q为常数）时，可以设)(112nnnnkaahkaa，其待定常数h、k由pkh,qhk求出，从而化归为上述已知题型．综而言之，等差、等比数列是两类最基本的数列，是数列部分的重点，自然也是高考考查的热点，而考查的目的在于测试灵活运用知识的能力，这个“灵活”往往集中在“转化”的水平上；以上介绍的仅是常见可求通项基本方法,同学们应该在学习不断的探索才能灵活的应用.只要大家认真的分析求通项公式并不困难.