实变函数与泛函分析53

第三节Lesbesgue积分与Riemann积分的关系第五章积分论yiyi-1iniibamEdxxfL10],[lim)()(Lesbesgue积分对值域作分划xi-1xiiniiTbaxfdxxfR10||||)(lim)()(Riemann积分对定义域作分划本节主要内容:若f(x)Riemann可积，则f(x)在[a,b]上Lebesgue可积，且积分值相等f(x)Riemann可积当且仅当f(x)的不连续点全体为零测度集Riemann可积的充要条件iiiiiiiiimMxxxxfmxxxxfM}:)(inf{}:)(sup{1101iniixT1,0，使得分割iniiTbaxMdxxf10||||lim)(dxxfxmbainiiT)(lim10||||f(x)在[a,b]上Riemann可积Darboux上、下积分对[a,b]作分划序列,3,2,1:)()(2)(1)(0)(nbxxxxaTnknnnnn0||lim}1:max{||)()(1)()(nnnnininTkixxT}:)(inf{}:)(sup{)()(1)()()(1)(ninininininixxxxfmxxxxfM令（对每个i及n）Darboux上积分)(lim)()(1)(1)(ninikininbaxxMdxxfn)(lim)()(1)(1)(ninikininbaxxmdxxfnDarboux下积分xi-1xi引理：设f(x)在[a,b]上为有界函数，记ω(x)为[a,b]上的振幅函数，则dxxfdxxfdxxbababa)()()(],[故ω(x)为[a,b]上的可测函数，从而f(x)L可积。证明：由于f(x)在[a,b]上为有界函数，故ω(x)为[a,b]上有界函数，})(:{txEx又对任意实数t，为闭集，xi-1xi0||lim}1:max{||)()(1)()(nnnnininTkixxT作函数列,3,2,1,,,3,2,10),()()()()(1)()()(nkiTxxxxmMxnnninininiTn的分点是,3,2,1:)()(2)(1)(0)(nbxxxxaTnknnnnn对[a,b]作分划序列xi-1xi引理的证明引理的证明EbaxxxmEnTxbaxEnTnn],[),()(lim,0},),3,2,1(:],[{)()(且则的分点是令由控制收敛定理可知有则对一切上的上、下确界，在为令,|)(|],[)(,)(ABxnbaxfBAnT,)()(lim],[],[)(babaTndxxdxxnxi-1xi引理的证明另一方面,)()(lim],[],[)(babaTndxxdxxndxxfdxxfxxmxxMbabaninikininninikininnn)()()(lim)(lim)(1)(1)()(1)(1)(从而结论成立xi-1xi))((lim)(lim)(1)(1)()(],[)(ninikinininTbanxxmMdxxnn1.Riemann可积的内在刻画定理：有界函数f(x)在[a,b]上Riemann可积的充要条件是f(x)在[a,b]上的不连续点全体为零测度集教材p-104有另一种证明，从而0)()()(],[dxxfdxxfdxxbababa证明：若f(x)Riemann可积,则f(x)的Darboux上、下积分相等，上几乎处处为零。在故于又],[)(],,[..0)(baxbaeax上几乎处处为零。在故于又],[)(],,[..0)(baxbaeax上述过程反之也成立。从而f(x)在[a,b]上的不连续点全体为零测度集，引理：设f(x)是E上有限实函数，则f(x)在x0∈E处连续的充要条件是f(x)在x0处的振幅为0证明参照教材p-1022.Lesbesgue积分与Riemann积分的关系(Lebesgue积分是对Riemann积分的推广)定理：若f(x)在[a,b]上Riemann可积，则f(x)在[a,b]上Lebesgue可积，且babadxxfRdxxfL)()()()(],[证明：f(x)在[a,b]上Riemann可积，故f(x)在[a,b]上几乎处处连续，从而f(x)在[a,b]上有界可测，并且Lebesgue可积，Lesbesgue积分与Riemann积分的关系的证明}:)(inf{},:)(sup{11iiiiiixxxxfmxxxxfM其中)()()(1],[11iiixxiiixxMdxxfxxmii另外其次，对[a,b]的任一分划bxxxxaTn210:nnxxbaiidxxfdxxf1],[],[1)()(根据Lesbesgue积分的可加性，我们有Lesbesgue积分与Riemann积分的关系的证明}:)(inf{},:)(sup{11iiiiiixxxxfmxxxxfM其中)()()(1],[11iiixxiiixxMdxxfxxmii另外11[,]11()()()nniiiiiiabiimxxfxdxMxx从而对上式左、右端关于一切分划各取上、下确界，即得dxxfdxxfdxxfbababa)()()(],[xi-1xi例QqpxqQxxR)1,0(//1)1,0(0)(在有理点处不连续，在无理点处连续（参见：数学分析）Riemann函数Riemann可积QxQxxD]1,0[1]1,0[0)(处处不连续Dirichlet函数不Riemann可积01注：Lebesgue积分与广义Riemann积分无必然联系例：f(x)有无穷积分,但不Lebesgue可积.20)()(dxxfR51015202530-0.20.20.40.60.81),0()(sinxxfxx注：Lebesgue积分与广义Riemann积分无必然联系例：f(x)有暇积分但不Lebesgue可积nnnxnxxf1111)1(00{)(1/5¼1/3½12ln1)()(10dxxfRnn1)1(41312112ln例设f(x)是[a,b]上Lebesgue可积函数，如果对任意实数c(0≤c≤1)总有那么f(x)=0a.e.于[0,1]0)(],0[cdxxf0)(],1,0[],0[cdxxfc证明：由于(,)(0,)(0,][0,1],,()()()0abbaababfxdxfxdxfxdx故，有，上大于在，不妨令值不为上的且在，若结论不成立，则存在0)(0)(,0]1,0[ExfxfEmEE教材p122有另一种证明写法：证明中用到了积分的绝对连续性，所以0)(Fdxxf从而有f(x)在F上几乎处处为00()0mFFfx这与且在上矛盾，所以f(x)=0a.e.于[0,1]证明（续）FFbanFGdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfdxxfnn)()()()()()(0),(1)10(，则有10,(0,1)(,)nnnFEmFGFab作闭集使并令，第四节Lesbesgue积分的几何意义与Fubini定理第五章积分论主讲：胡努春重积分与累次积分],[],[),(dcbadxdyyxf重积分dcbadyyxfdx),(累次积分dcbadcbadyyxfdxdxdyyxf),(),(],[],[f(x,y)连续1.截口定理pRxdxEmEm)()()3(xEx证明参照教材p-136分六种情况讨论：区间，开集，型，零集，有界可测集，一般可测集GpqER定理1设是可测集，则）（其中}),(|{EyxyEx(1)对Rp中几乎所有的x，Ex是Rq中的可测集(2)m(Ex)作为x的函数，它在Rp上几乎处处有定义，且是可测函数；2.Lebesgue积分的几何意义定理2：设A,B分别是Rp和Rq中的可测集，则A×B是Rp+q中的可测集，且m(A×B)=mA×mB证明参照教材p-139AB2.Lebesgue积分的几何意义);()(fEmGdxxfE证明参照教材p-139则f(x)是E上可测函数当且仅当G(E;f)={(x,y)|x∈E，0≤yf(x)}是Rn+1中的可测集;并且有nRE定理3设f(x)为可测集上的非负函数，f(x)3.Fubini定理dxdyyxfdppfBABA)),(()(证明参照教材p-140dyyxfB),(qpRBA(1)设f(p)=f(x,y)在上可积，则对几乎所有的x∈A,f(x,y)作为y的函数在B上可积，作为x的函数在A上可积,且先重积分后累次积分3.Fubini定理dxdyyxfdppfBABA)),(()(证明参照教材p-140dyyxfB|),(|dxdyyxfBA)|),(|((2)设f(x)是B上的可测函数，存在（即|f(x,y)|作为y的函数在B上可积，且作为x的函数在A上可积），则f(p)在A×B可积，且先累次积分后重积分