金融工程课件-二叉树模型介绍

二叉树模型介绍第十一章为期权进行估值的一个常用方法是构造二叉树图。这个树图表示了股票价格在期权的有效期内可能遵循的路径。在这里，我们假设股票价格遵循随机游走。每一时间步中，价格上升一定百分比有一定的概率，价格下降一定的百分比也有一定的概率。11.211.3一个简单的二叉树模型股票的即期价格为$20在3个月内股票价格为$22或$18股票价格=$22股票价格=$18股票价格=$2011.4股票价格=$22期权价格=$1股票价格=$18期权价格=$0股票价格=$20期权价格=?一个看涨期权一个有效期3个月的股票看涨期权执行价格为2111.5考虑一个证券组合:D股股票多头一个看涨期权空头证券组合是无风险的，当22D–1=18D或D=0.2522D–118D构造一个无风险证券组合11.6证券组合的价值无风险证券组合是:0.25股股票多头1个看涨期权空头证券组合价值3个月时是22×0.25–1=4.50证券组合的现值是4.5e–0.12×0.25=4.367011.7期权的估值证券组合为0.25股股票多头1个看涨期权空头现值是4.367股票价值是5.000(=0.2520)因此期权价值为0.633(=5.000–4.367)11.8一般结论价值取决于标的股票价值，且有效期为T的衍生品：S0uƒuS0dƒdS0ƒ11.9一般结论（续）考虑包含D股股票多头和1份衍生品空头的证券组合证券组合是无风险的当S0uD–ƒu=S0dD–ƒddSuSfdu00ƒDS0uD–ƒuS0dD–ƒd0SfD11.10一般结论（续）在T时刻证券组合价值是S0uD–ƒu证券组合的现值是(S0uD–ƒu)e–rT证券组合的现值的利益表达方式是S0D–f结论为ƒ=S0D–(S0uD–ƒu)e–rT11.11一般结论（续）将D带入下式并化简得：ƒ=[pƒu+(1–p)ƒd]e–rT其中：pedudrT11.12作为概率的P可以将p和1-p作为股票价格上升和下降的概率衍生品的价值是在风险中性世界以无风险利率贴现值S0uƒuS0dƒdS0ƒ11.13风险中性估值当上升和下降的概率是p和1-p股票价格在T时刻价值是S0erT这说明股票价格获得无风险收益二叉树模型显示为一般衍生品估值我们可以假设标的资产的期望报酬率为无风险利率且以无风险利率贴现这是风险中性估值的一般思想11.14一个例子由于我们可以从下式中估计p值20e0.12×0.25=22p+18(1–p)得p=0.6523还可以使用方程得：6523.09.01.19.00.250.12edudeprTS0u=22ƒu=1S0d=18ƒd=0S0ƒ11.15使用风险中性为期权估值期权价值为：e–0.12×0.25(0.6523×1+0.3477×0)=0.633S0u=22ƒu=1S0d=18ƒd=0S0ƒ11.16两步二叉树模型每一步的时间为3个月K=21,r=12%20221824.219.816.211.17两步二叉树的估值节点B的价值=e–0.12×0.25(0.6523×3.2+0.3477×0)=2.0257节点A的价值=e–0.12×0.25(0.6523×2.0257+0.3477×0)=1.2823201.2823221824.23.219.80.016.20.02.02570.0ABCDEF11.18一个例子K=52,时间步=1年r=5%504.1923604072048432201.41479.4636ABCDEF11.19当期权为美式期权时会如何？505.0894604072048432201.414712.0ABCDEF11.20Delta值Delta(D)是期权价格的变动与标的资产（股票）价格变动的比值D的价值随期权的状态不同而不同（虚值、实值、深度实值、深度虚值）11.21选择u和d一种匹配波动率的方法是设：s是波动率且Dt是时间步的长度。这是由Cox,Ross,和Rubinstein首先使用的。tteudeuDsDs111.22TheProbabilityofanUpMovecontractfuturesaforratefree-riskforeigntheisherecurrencywaforindextheonyielddividendtheiseindexwherstockaforstockpayingdnondividenafor1)()(DDDareaqeaeadudapftrrtqrtrf