《计算导数》课件

§3计算导数1.理解导数的概念．2.掌握导数的定义求法．3.识记常见函数的导数公式.1.基本初等函数的导函数求法．(难点)2.基本初等函数的导函数公式．(重点)3.指数函数和幂函数的导函数公式．(易混点)求函数导数的一般步骤：(1)求函数的增量Δy＝；(2)求平均变化率ΔyΔx＝；(3)取极限，求导数f′(x)＝Δt→0lim.f(x＋Δx)－f(x)fx＋Δx－fxΔxΔyΔx1．导函数一般地，如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的处都有导数，导数值记为f′(x)：f′(x)＝Δt→0limfx＋Δx－fxΔx，则是关于x的函数，称f′(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数．每一点xf′(x)2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝cf′(x)＝.f(x)＝xα(α∈R＋)f′(x)＝.f(x)＝sinxf′(x)＝.f(x)＝cosxf′(x)＝.f(x)＝tanxf′(x)＝.αxα－1cosx－sinx1cos2x0原函数导函数f(x)＝cotxf′(x)＝.f(x)＝axf′(x)＝.f(x)＝exf′(x)＝.f(x)＝logaxf′(x)＝.f(x)＝lnxf′(x)＝.axlna(a0)ex－1sin2x1xlna(a0且a≠1)1x1．曲线y＝xn在x＝2处的导数为12，则n等于()A．1B．2C．3D．4解析：∵y′＝nxn－1，∴y′|x＝2＝n·2n－1＝12.∴n＝3.答案：C答案：C2．下列各式中正确的是()A．(lnx)′＝xB．(cosx)′＝sinxC．(sinx)′＝cosxD．(x－5)′＝－15x－63．若y＝10x，则y′|x＝1＝________.解析：∵y′＝10xln10，∴y′|x＝1＝10ln10.答案：10ln104．求下列函数的导数：(1)y＝x13；(2)y＝1x3；(3)y＝4x；(4)y＝log3x；(5)y＝sinx；(6)y＝15x2.解析：(1)y′＝(x13)′＝13x13－1＝13x12；(2)y′＝1x3′＝(x－3)′＝－3x－3－1＝－3x－4；(3)y′＝(4x)′＝x14′＝14x14－1＝14x－34；(4)y′＝(log3x)′＝1x·log3e＝1xln3；(5)y′＝(sinx)′＝cosx；(6)y′＝15x2＝x－25′＝－25x－25－1＝－25x－75.求下列函数的导数：(1)y＝x12；(2)y＝1x4；(3)y＝2x；(4)y＝log2x.利用公式求函数的导数．[解题过程]序号答案理由(1)12x11利用(xα)′＝α·xα－1得(x12)′＝12x11(2)－4x5首先1x4＝x－4再利用(xα)′＝α·xα－11x4′＝(x－4)′＝－4x5(3)2xln2利用(ax)′＝axlna得(2x)′＝2xln2(4)1xln2利用(logax)′＝1xlna得(log2x)′＝1xln21.求下列函数的导数(1)y＝sin3π4；(2)y＝log27；(3)y＝x10；(4)y＝1x2.解析：(1)∵y＝sin3π4＝22，∴y′＝0；(2)∵y＝log27，∴y′＝0；(3)y′＝(x10)′＝10x10－1＝10x9；(4)y′＝(1x2)′＝(x－2)′＝－2x－2－1＝－2x－3.(2011·江西卷，4)曲线y＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为()A．1B．2C．eD.1e解析：由y′＝ex，得在点A(0,1)处的切线的斜率k＝y′|x＝0＝e0＝1，∴选A.答案：A求曲线y＝sinπ2－x在点A－π3，12处的切线方程．先化简函数的解析式，再利用导数的几何意义求切线方程．[解题过程]∵sinπ2－x＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx，∴曲线在点A－π3，12处的切线的斜率为k＝－sin－π3＝32，∴其切线方程为y－12＝32x＋π3，即33x－6y＋3π＋3＝0.2.求曲线y＝sinx在点Aπ6，12的切线方程；解析：y′＝(sinx)′＝cosx，∴y′|x＝π6＝32，∴切线斜率k＝32，∴切线方程为y－12＝32x－π6，化简得：63x－12y＋6－3π＝0.(2011·大纲全国卷，8)曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为()A.13B.12C.23D．1解析：∵y′＝(－2x)′e－2x＝－2e－2x，k＝y′|x＝0＝－2e0＝－2，∴切线方程为y－2＝－2(x－0)，即y＝－2x＋2.如图，∵y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标为23，23，y＝－2x＋2与x轴的交点坐标为(1,0)，∴S＝12×1×23＝13.答案：A首先利用公式求出在x＝1处的切线斜率，然后求出切线方程，最后利用不等式性质求面积最值．已知函数f(x)＝x2a－1(a0)的图象在x＝1处的切线为l，求l与两坐标围成的三角形面积的最小值．[解题过程]∵f′(x)＝2xa，∴f′(1)＝2a.又f(1)＝1a－1，∴f(x)在x＝1处的切线l的方程是y－1a＋1＝2a(x－1)．∴l与坐标轴围成的三角形的面积S＝12－1a－1·a＋12＝14a＋1a＋2≥14×(2＋2)＝1.当且仅当a＝1a，即a＝1时，直线l与两坐标轴围成的三角形的面积最小，最小值为1.3.已知f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，又f(2x＋1)＝4g(x)，且f′(x)＝g′(x)，f(5)＝30.求g(4)．解析：题设中有四个参数a、b、c、d，为确定它们的值需要四个方程．由f(2x＋1)＝4g(x)，得4x2＋2(a＋2)x＋a＋b＋1＝4x2＋4cx＋4d.于是有a＋2＝2c，①a＋b＋1＝4d，②由f′(x)＝g′(x)，得2x＋a＝2x＋c，∴a＝c.③由f(5)＝30，得25＋5a＋b＝30.④由①③可得a＝c＝2.由④得b＝－5.再由②得d＝－12.∴g(x)＝x2＋2x－12.故g(4)＝16＋8－12＝472.1．f′(x0)是一个具体实数值，f′(x)是一个函数；2．f′(x0)是当x＝x0时，f′(x)的一个函数值；3．求f′(x0)可以有两条途径：①利用导数定义直接求；②先求f′(x)，再把x＝x0代入f′(x)求．常数函数的导数：①若f(x)＝C，则f′(x)＝0；幂函数的导数：②若f(x)＝xn(x∈N＋)，则f′(x)＝nxn－1；三角函数的导数：③若f(x)＝sinx，则f′(x)＝cosx；④若f(x)＝cosx，则f′(x)＝－sinx；指数函数的导数：⑤若f(x)＝ax，则f′(x)＝axlna(a0)；⑥若f(x)＝ex，则f′(x)＝ex；对数函数的导数：⑦若f(x)＝logax，则f′(x)＝1xlna(a0，且a≠1)；⑧若f(x)＝lnx，则f′(x)＝1x.◎求曲线f(x)＝2x在点(0,1)处的切线方程．【错解】∵f′(x)＝(2x)′＝2x，∴f′(0)＝20＝1，即k＝1.∴所求切线方程为y＝x＋1.【错因】若所求切线方程为y＝x＋1，而f(x)＝2x与y＝x＋1均过定点(0,1)与(1,2)，此时f(x)＝2x与y＝x＋1在点(0,1)和(1,2)处均相交，但并不相切．上面的解法错用了导数公式(ax)′＝axlna，特别地，只有当a＝e时，才有(ex)′＝ex成立．【正解】∵f(x)＝2x，∴f′(x)＝2xln2，f′(0)＝ln2.∴所求切线的方程为y＝xln2＋1.