随机过程的基本概念以统计特性

《随机信号分析》教学组第1章随机过程《随机信号分析》教学组2主要内容：随机过程的基本概念及其统计特性连续时间随机过程的微分和积分随机过程的平稳性和遍历性联合平稳随机过程正态随机过程马尔可夫链《随机信号分析》教学组3随机变量与时间无关随机过程与时间相关《随机信号分析》教学组41.1随机过程的基本概念及统计特性自然界事物的变化分为两大类：确定性过程和随机过程。确定性过程：1）每次试验得到的观测过程都相同。2）具有确定形式的变化过程，或可用一个时间t的确定函数表示。随机过程：1）每次试验得到的观测过程都不同。2）没有确定的变化形式或不能用一个时间t的确定函数表示。正弦信号示波器的噪声电压《随机信号分析》教学组5一定义1.接收机噪声电压观测方式：对相同接收机同时观测050100150200-505050100150200-505050100150200-505050100150200-505从试验可知，每次得到的结果不同，且变化的规律不能用一个确定的函数来描述噪声电压的起伏波形《随机信号分析》教学组62、观察具有随机振幅或随机相位的电压波形0()cos()VtAtA若A和为常数，是（0，2π）的随机取值的随机变量，电压波形为0随机相位信号01020304050607080-10101020304050607080-10101020304050607080-10101020304050607080-101《随机信号分析》教学组70()cos()VtAt若和为常数，是随机取值的随机变量，电压波形为0A随机振幅信号《随机信号分析》教学组8样本函数：，，，…，，都是时间的函数，称为样本函数。)(1tx)(2tx)(3tx)(txn随机性：一次试验，随机过程必取一个样本函数，但所取的样本函数带有随机性。因此，随机过程不仅是时间t的函数，还是可能结果的函数，记为，简写成。),(tX)(tX《随机信号分析》教学组9=3、随机过程的定义(,)Xt定义1：设随机试验E的样本空间为S={ξ}，对其每一个元素都以某种法则确定一个样本函数，由全部元素{ξ}所确定的一族样本函数称为随机过程，简记为。)3,2,1(ii),(itX)(tXS《随机信号分析》教学组10S定义2：设有一个过程X(t)，若对于每一个固定的时刻，是一个随机变量，则X(t)称为随机过程。(1,2,3)jtj(,)jXt《随机信号分析》教学组11随机过程的一般表征随机过程),(tX样本函数集合(,),1,2,iXti＝为了简便起见，随机过程常省略代表试验结果的参量ξ。随机过程常用大写字母表示，样本函数常用小写字母表示，k表示第k个样本函数。12(),(),,()kxtxtxt)(),(tYtX样本变量集合随机过程),(tX(,),1,2,iXti＝《随机信号分析》教学组12上面两种随机过程的定义，从两个角度描述了随机过程。具体的说：作观测时，常用定义1，这样通过观测的试验样本来得到随机过程的统计特性；对随机过程作理论分析时，常用定义2，这样可以把随机过程看成为n维随机变量，n越大采样时间越小，所得到的统计特性越准确。《随机信号分析》教学组13随机过程四种不同情况下的理解：一个随机过程一个确知的时间函数一个随机变量一个确定值t1和都是变量t2是变量而固定3固定而是变量t4和都固定t(,)Xt《随机信号分析》教学组14二随机过程的分类1按随机过程的时间和状态来分类连续型随机过程：对随机过程任一时刻的取值都是连续型随机变量。1t)(1tX离散型随机过程：对随机过程任一时刻的取值都是离散型随机变量。1t)(1tX《随机信号分析》教学组15离散随机序列：随机过程的时间t只能取某些时刻，如，2，…..，n，且这时得到的随机变量是离散型随机变量，即时间和状态是离散的。相当于采样后再量化。ttt)(tnX连续随机序列：随机过程的时间t只能取某些时刻，如，2，…..，n，且这时得到的随机变量是连续型随机变量，即时间是离散的。相当于对连续型随机过程的采样。ttt)(tnX《随机信号分析》教学组16状态时刻连续型随机过程连续连续连续随机序列连续离散离散型随机过程离散连续离散随机序列离散离散随机过程按时间和状态的分类《随机信号分析》教学组172按样本函数的形式来分类不确定的随机过程：随机过程的任意样本函数的值不能被预测。例如接收机噪声电压波形。确定的随机过程：随机过程的任意样本函数的值能被预测。例如，样本函数为正弦信号。《随机信号分析》教学组183按概率分布的特性来分类•高斯随机过程•瑞利随机过程•对数正态随机过程•马尔可夫随机过程4按统计特性来分类•平稳随机过程•非平稳随机过程5按随机过程在频域的带宽分类•宽带随机过程•窄带随机过程•白噪声•有色噪声《随机信号分析》教学组19三随机过程的概率分布随机过程是一族时间函数，在一次具体试验中、函数族中哪一个函数（样本）出现时是服从某种概率分布的，因而对随机信号不能采用通常的对确定性信号的表述方法，而必须用概率统计，即统计特性的描述方法。1、概率密度函数或概率分布函数的描述方法是全面、完整的描述方法。2、数字特征（期望、方差、相关函数）的描述方法是的宏观、概括的描述方法。统计特性的描述方法分为两个大类：《随机信号分析》教学组20当仪器记录随机过程X(t)的变化过程时候，一般不可能也没有必要连续的记录全部过程，而只要记下X(t)在确定时刻t1,t2,…,tn上的量。由随机过程的定义可知，在确定t值上，随机过程变为随机变量，仪器记录的结果是n维随机变量X(t1),X(t2),…,X(tn)，如果说记录时间间隔△t=ti-ti-1相当小(n足够大)时，多维随机变量X(t1),X(t2),…,X(tn)可以足够完整表示出随机过程X(t)。在一定近似程度上，可以通过研究多维随机变量来代替对随机过程的研究，且n取值越大，代替的越精确。当n→∞时，随机过程的概念可以作为多维随机变量的概念在维数无穷大情况的自然推广。《随机信号分析》教学组21一维概率分布函数随机过程X(t)在任意tiT的取值X(t1)是一维随机变量。概率P{X(t1)≤x1}是取值x1，时刻t1的函数，记为Fx(x1;t1)=P{X(t1)≤x1}，称作随机过程X(t)的一维分布函数。随机变量：()[]XFxPXx随机过程：(,)[()]XFxtPXtx若的偏导数存在，连续随机过程概率密度函数为(,)(,)XXFxtfxtx(,)XFxt一维概率密度函数一维概率分布和概率密度只描述了任意一个时刻的统计特征，仅仅描述了各个孤立点时刻统计特性，不能反映随机过程在不同时刻状态之间的联系。随机过程统计特性：概率分布函数概率密度函数《随机信号分析》教学组22二维概率分布函数FX(x1,x2;t1,t2)=P[X(t1)≤x1,X(t2)≤x2]为了描述在任意两个时刻t1和t2的状态间的内在联系,可以引入二维随机变量[X(t1),X(t2)]的分布函数FX(x1,x2；t1,t2)，它是二随机事件{X(t1)≤x1}和{X(t2)≤x2}同时出现的概率，即称为随机过程X(t)的二维分布函数。若FX(x1,x2;t1,t2)对x1，x2的二阶混合偏导存在，即21212122121),;,(),;,(xxttxxFttxxfXX为随机过程X(t)的二维概率密度。二维概率密度函数注意：X(t1)及X(t2)为同一随机过程上的随机变量。二维分布比一维分布包含可更多的信息，但仍不能完整的反应出随机过程的全部统计特性。《随机信号分析》教学组23n维概率分布函数和概率密度函数12121122(,,,;,,,)[(),(),,()]XnnnnFxxxtttPXtxXtxXtxnnnXnnnXxxxtttxxxFtttxxxf2121212121),,,;,,,(),,,;,,,(随机过程在任意n个时刻的取值)(tXnttt,,,21)(,),(),(21ntXtXtX)](,),(),([21ntXtXtX)(tX构成n维随机变量即为n维空间的随机矢量X。类似的，可以定义随机过程的n维分布函数和n维概率密度函数为显然，n越大随机过程的n维分布律描述的特性也越趋完善，理论上说，可以无限增加n，使n维分布律更加全面地反应X(t)的统计特性，但实际上，n越大分析处理会变得越复杂。《随机信号分析》教学组24性质：1212(,,,,,;,,,,)0XninFxxxtttt12(,,,;,,,)1XnFttt1212(,,,;,,,)0Xnnfxxxttt121212n(,,,;,,,)1Xnnnfxxxtttdxdxdx重121212nm1212(,,,;,,,)(,,,;,,,)XnnmmnXmmfxxxtttdxdxdxfxxxttt＋－重若统计独立，则有)(,),(),(21ntXtXtX12121122(,,,;,,,)(;)(;)(;)XnnXXXnnfxxxtttfxtfxtfxt《随机信号分析》教学组25四随机过程的数字特征随机变量的数字特征（期望、方差、相关系数）通常是确定值。随机过程的数字特征（期望、方差、相关函数）通常是确定性函数。随机过程的数字特征的计算方法:先把时间t固定，然后用随机变量的分析方法来计算。《随机信号分析》教学组261数学期望（均值函数）()[()](,)XmtEXtxfxtdx显然，是某一个平均函数，随机过程的诸样本在它的附近起伏变化，如图所示：)(tmX随机过程的均值是时间t的函数，称为均值函数。物理意义：如果随机过程表示接收机的输出电压，那么它的数学期望就是输出电压的瞬时统计平均值。《随机信号分析》教学组27统计均值是对随机过程中所有样本函数在时间t的所有取值进行概率加权平均，所以又称为集合平均。它反映了样本函数统计意义下的平均变化规律，是所有样本函数在各个时刻摆动的中心。《随机信号分析》教学组282均方值和方差随机过程在任一时刻t的取值是一个随机变量。我们把二阶原点矩称为随机过程的均方值，把二阶中心矩记作随机过程的方差。即：)(tX)(tX22222()[()](;)()[()][(()())]XXXXtEXtxfxtdxtDXtEXtmt222()[()]()XXtEXtmt且方差、均方值都是时间t的函数，描述了随机过程诸样本函数围绕数学期望的分散程度。)(tX《随机信号分析》教学组29物理意义：如果表示噪声电压，则均方值表示消耗在单位电阻上的瞬时功率统计平均值。方差表示消耗在单位电阻上的瞬时交流功率统计平均值。)(tX)]([2tXE)]([tXD标准差：2[()]()()XXDXttt==实际应用中，标准差用它作为描述随机过程散布程度的指标。《随机信号分析》教学组30方差22()[(()())]XXtEXtmt22[()]()XEXtmt)(tx-----单位电阻上的电压2()1xt-----消耗在单位电阻上的瞬时功率-----消耗在单位电阻上的瞬时交流功率2[()()]1xxtmt-----消耗在单位电阻上的瞬交流功率的统计平均值2[(()())1]xExtmt消耗在单位电阻上的总的平均功率平均交流功率平均直流功率222{()}()()XXEXttmt《随机信号分析》教学组313自相关函数数学期望和方差是描述随机过程在各个孤立点时刻的重要数字特征。它们反应不出来整个随机过程不同时间的内在联系。比较具有相同数学期望和方差的两个随机过程。《随机信号分析》教学组32自相关函数用来描述随机过程任意两个时刻状态之间的内在联系，通常用描述。),(21ttRX121212121212(,)[()()](,;,)XXRttEXtXtxxfxxttdxdx•描述了整个随机过程任意两个不同时刻的内在关系：线性相