常微分方程(王高雄)第三版 4.3

§4.3高阶微分方程的降阶和幂级数解法一、可降阶的一些方程类型n阶微分方程的一般形式:0),,,,()('nxxxtF1不显含未知函数x,或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k1)阶导数的方程是)57.4(0),,,,()()1()(nkkxxxtF阶方程的则可把方程化为若令knyyxk,)()58.4(0),,,,()('knyyytF解得),,,(1knccty积分即),,,(1)(knkcctx为任常数这里nncccctx,,),,,,(11解题步骤:则方程化为令,)(yxk第一步:0),,,,()('knyyytF第二步:求以上方程的通解),,,(1knccty即),,,(1)(knkcctx第三步:对上式求k次积分,即得原方程的通解为任常数这里nncccctx,,),,,,(11)57.4(0),,,,()()1()(nkkxxxtF解令,44ydtxd则方程化为01ytdtdy这是一阶方程,其通解为,cty即有,44ctdtxd对上式积分4次,得原方程的通解为,54233251ctctctctcx例1.014455的通解求方程dtxdtdtxd2不显含自变量t的方程,一般形式:)59.4(,0),,,()('nxxxF,,'作为新的自变量而把作为新的未知函数此时以xxy,ydtdx因为dtdy22dtxddxdydtdx,dxdyy3232dxddxdtdtdtdtd)(dxdyydxdxdyyd)(dtdx,222dxydy2)(dxdyy用数学归纳法易得:来表达可用)(,,,)1()1()(nkdxyddxdyyxkkk将这些表达式代入(4.59)可得:2222(,,,(),)0dydydyFxyyyydxdxdx即有新方程0),,,,()1()1(nndxyddxdyyxG它比原方程降低一阶解题步骤:第一步:原方程化为自变量为新的为新的未知函数并令,,,'xyxy0),,,,()1()1(nndxyddxdyyxG第二步:求以上方程的通解),,,(11nccxy第三步:解方程),,,(11nccxdtdx即得原方程的通解解令,,作为新的自变量并以xydtdx则方程化为02ydxdyxy从而可得,0y及,xydxdy这两方程的全部解是,1xcy例2.0)(222的通解求方程dtdxdtxdx再代回原来变量得到,1xcdtdx所以得原方程的通解为12,ctxce3已知齐线性方程的非零特解,进行降阶1(1)0xx设是二阶齐线性方程22()()0,(4.69)dxdxptqtxdtdt的非零解令1xxy则'''11xxyxy''''''''1112xxyxyxy代入(4.69)得'''''''111111[2()][()()]0xyxptxyxptxqtxy即''''111[2()]0xyxptxy''''111[2()]0xyxptxy引入新的未知函数',zy方程变为'111[2()]0dzxxptxzdt是一阶线性方程,解之得()21,ptdtczex因而()112211[],(4.70)ptdtxxccedtx12,cc这里是任常数.则()21211,ptdtycedtcx因此(4.69)的通解为1x因它与之比不等于常数,12,xx故线性无关120,cc令=1得(4.69)的一个解:()21211,ptdtxxedtx()112211[],(4.70)ptdtxxccedtx12,cc这里是任常数.22()()0,(4.69)dxdxptqtxdtdt解题步骤:第一步:1xxy令方程变为''''1112[()]0xyxptxy第二步:'zy令方程变为'1112[()]0dzxxptxzdt解之得()21,ptdtczex即()112211[],(4.70)ptdtxxccedtx第三步:1210,ccx令=1得与线性无关一个解:()21211,ptdtxxedtx第四步:(4.69)的通解为()112211[],(4.70)ptdtxxccedtx12,cc这里是任常数.注一般求(4.69)的解直接用公式(4.70)解这里12sin(),tptxtt由(4.70)得22122[]sindtttccedtt例322sin20.tdxdxxxtdttdt已知是方程的解,试求方程的通解2122sin[sinttcctt12sin[tcct121[sincos]ctctt12,cc这里是任常数.sintxt21]dttcot]t(2)一般已知齐线性方程111()()0(4.2)nnnnndxdxatatxdtdt2,,,,kxxx1的k个线性无关的解0,1,2,,,ixik显然,kxxy令则'''kkxxyxy''''''''2kkkxxyxyxy()()'(1)''(2)()(1)2nnnnnkkkknnxxynxyxyxy代入(4.2)得()'(1)1[()]nnkkkxynxatxy()(1)1[()]0nnkknkxatxaxy(4.2)kx因为的解,y故的系数恒为零,y即化为不含的方程,',zyxk令则在0的区间上方程变为(1)(1)11()()0,(4.67)nnnzbtzbtz'(),1,2,,1(4.67)1iikxzikkx且是的个线性无关的解事实上21,,,(4.2),kxxx1由为的解及以上变换知'()kkxzxxzdtx或21,,,(4.67),kzzz1因此是的解若12211kkzzz10则121kkkkkxxxxxx12k-1即12211kkkkxxxx102,,,,kxxx1由线性无关知121,,kk全为021,,,,kzz1故z线性无关因此,对(4.67)仿以上做法,1,kzudt令z-2un则可把方程化为关于的阶线性方程(2)(3)12()()0,(4.68)nnnuctuctu,k且可(4.68)的-2个线性无关的解'1(),1,2,,2iikzuikz-nk以上做法一直下去,可降低阶.二、二阶线性方程的幂级数解法对二阶变系数齐线性方程22()()0(4.72)dydypxqxydxdx其求解问题,归结为寻求它的一个非零解.下面考虑该方程及初始条件'(1)0000(),()yxyyxy的情况用级数表示解?00)x(不失一般性,可设定理10,(4.72)pxqxxxR若方程(4.72)中系数()和()都可展成的幂级数,且收敛区间为则方程有形如0,(4.73)nnnyax=.xR的特解,也以为级数的收敛区间定理112()()()(),(4.72)pxqxxpxxqxxR若方程(4.72)中系数和都具有这样的性质,即和均可展成x的幂级数,且收敛区间为则方程有形如00,(4.75)nnnnnnyxaxax00,.axR的特解,这里是一个待定常数,级数(4.75)也以为收敛区间例4''240(0)0,.xyyyy求方程y满足初始条件(0)=1的解解设级数1nnaaxax0y=为方程的解,(1,2,)aii这里是一个待定常数,由初始条件得:10,1;aa0因而22nnyxaxax=122nnyaxnax=1223232(1)nnyaaxnnax=将它代入方程,合并同类项,并令各项系数等于零,得220a332240a42243440aaa22(1)2(2)40nnnnnanaa即20,a31,a40,a,22,1nnaan因而51,2!a60,a71,3!a80,a91,4!a也即211,!kak20,ka;k对一切正整数成立故方程的解为52132!!kxxxxky=422(1)2!!kxxxxk2xxe例522222()0(4.74).dydyxxxnydxdxn求解n阶Bessel方程这里为非负常数解将方程改写为2222210dydyxnydxxdxx易见,它满足定理11条件,且222()1,()xpxxqxxn,11xx按展成的幂级数收敛区间为由定理方程有形如0,(4.75)knkyax00,a的解,这里是一个待定常数,将(4.75)代入(4.74)中,得220kkxaxk(+k)(+k-1)10kkxaxk(+k)220()0kkxnaxkx比较的同次幂系数得220()0an221[(1)]0an222[()]0,2,3,kkaknak(4.76)a0因为0,220,n则有,n从而,n为确定起见暂令由(4.76)得10,a2,2,3,(2)kkaakknk即2121,(21)(221)kkaaknk222,2(22)kkaaknk1,2,k从而可得210,1,2,kak022(1),2!(1)(2)()kkkaaknnnk1,2,k0,nBessel因此在时得到方程的一个解201021(1),(4.77)2!(1)()nkknkkayaxxknnk0a若将任常数取为012(1)nan-10()(1)()xppexdxppp这里,注意到时.因此(4.77)变为2101(1)()(),(4.77)!(1)2kknnkxyJxknk()(4.74),.nJxBesselnBessel是由方程定义的特殊函数称为阶函数,n当时完全类可得210,1,2,kak022(1),2!(1)(2)()kkkaaknnnk1,2,k若取012(1)nan则可得(4.74)的另一个特解2201(1)()(),(4.78)!(1)2kknnkxyJxknk()(4.74),.nJxBesselnBessel是由方程定义的特殊函数称为-阶函数由达朗贝尔判别法,对任x值(4.77),(4.78)收敛.-,()()nnJxJx因此,当不等于非负整数时和都是(4.74)的解,且线性无关.因而(4.74)的通解为12()(),nnycJxcJx12,.cc这里为任常数()nnakn2k当等于正整数,而,不能从(4.76)确定因此,不能象上面一样求得通解;()nJx但可用一3介绍的降阶法,求出与线性无关的解,因此,(4.74)的通解为11221()[],()dxxnnyJxccedxJx1221()[],()nnJxccdxxJx12,.cc为任常数例62'29(4)0.25xyxyxy求方程的通解解2tx引入新变量我们有2dydydtdydxdtdxdt2222(2)4dyddydtdydxdtdtdxdt代入方程得22229()025dydytttydtdt3,5nBessel这是的方程故方程的通解为132355()(),ycJtcJt代回原来的变量得原方程的通解为132355(2)(2),ycJxcJx12,.cc为任常数作业P1652,5,P1658,10