常微分方程

例１例２例３例４常微分方程第一章绪论在初等数学中，我们已经学过一些代数方程（如元个一次联立方程），并且用它们解决了一些有趣的应用问题，使我们初步体会到方程论（主要是设未知量、列方程和求解方程的方法）对于解决实际问题的重要性。在解析几何与微积分中，我们又碰到一类不同的方程——方程的个数少于未知量的个数，也就是通常所说的函数方程。例如，1）(设是自变量，则是未知函数)；2），（设是自变量，则和是两个未知函数）。这类函数方程与开头所说的代数方程相比，在概念上进了一步——确定自变量与因变量之间的函数关系。利用这类方程可以解决一类新的问题，例如某些轨迹问题和极值问题等。本课程所要讲述的方程与刚才说的那种函数方程又不一样，它们除了自变量和未知函数外，还包含了未知函数的导数(即微商)。例如:1）（是自变量，是未知函数，是未知函数对的导数。）2）（是自变量，是未知函数，是未知函数对的导数等等）。这种联系着自变量、未知函数以及未知函数的导数（或微分）的关系式,数学上称之为微分方程。其中未知函数的导数或微分是不可缺少的。下面我们通过几个具体的例子，粗略地介绍常微分方程的一些物理背景和方程的建立问题，并讲述一些最基本的概念。第一节微分方程：某些物理过程的数学模型在这一节中列举几个简单的实际例子，说明怎样从实际问题列成微分方程的问题。例子虽然简单，但是从中能够简明地诱导出微分方程的一些基本概念，成为进一步探讨其他较复杂问题的借鉴。掌握好这些例子，会有助于增进我们分析问题的能力。例1物体冷却过程的数学模型将某物体放置于空气中，在时刻时，测量得它的温度为，10分钟后测得温度为。我们要求决定此物体的温度和时间的关系，并计算20分钟后物体的温度。这里我们假定空气的温度保持为。解为了解决上述问题，需要了解有关热力学的一些基本规律。例如，热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；在一定的温度范围内（其中包括了上述问题的温度在内），一个物体的温度变化速度与这一物体的温度和其所在介质温度的差值成比例。这是已为实验证明了的牛顿（Newton）冷却定律。设物体在时刻的温度为，则温度的变化速度以来表示。由牛顿冷却定律得到这里是比例常数。方程（1.1.1）就是物体冷却过程的数学模型,它含有未知函数及它的一阶导数，这样的方程,我们称为一阶微分方程。为了决定物体的温度u和时间t的关系，我们要从方程（1.1.1）中“解出”。注意到是常数，且，可将（1.1.1）改写成这样，变量和被“分离”开来了。两边积分，得到（1.1.3）这里是“任意常数”。根据对数的定义，得到令，即得（1.1.4）根据“初始条件”：当时，（1.1.5）容易确定“任意常数”的数值。故把和代入（1.1.4），得到于是（1.1.6）这时如果的数值确定了，（1.1.6）就完全决定了温度和时间的关系。根据条件时，，得到由此，用给定的，和代入，得到从而（1.1.7）这样根据方程（1.1.7）,就可以计算出任何时刻t物体的温度u的数值了。例如20分钟后物体的温度就是。由方程(1.1.7)可知，当时，这可以解释为：经过一段时间后，物体的温度和空气的温度将会没有什么差别了。事实上,经过2小时后，物体的温度已变为，与空气的温度已相当的接近。而经过3小时后，物体的温度为,我们的一些测量仪器已测不出它与空气的温度的差别了。在实用上，人们认为这时物体的冷却过程已基本结束。微分方程的“解”可以用图形表示出来，这往往给我们一个简明直观的了解。图（1.1）就是“解”（1.1.7）的图形。从例1中可以大体看出用微分方程解决实际问题的基本步骤:（1）建立起实际问题的数学模型，也就是建立反映这个实际问题的微分方程；(2）求解这个微分方程；（3）用所学的数学结果解释实际问题，从而预测到某些物理过程的特定性质，以便达到能动地改造世界，解决实际问题的目的。建立起实际问题的数学模型一般比较困难的，因为这需要对与问题有关的自然规律有一个清晰的了解（例如，例１中就要了解热力学中的牛顿冷却定律），同时也需要有一定的数学知识。微分方程往往可以看作是各种不同物理现象的数学模型。我们在建立微分方程的时候，只能考虑影响这个物理现象的一些主要因素，而把其他的一些次要因素忽略掉，如果的确考虑到了那些最主要的因素，那么我们所得到的微分方程，它的解和所考虑的物理现象比较接近的。这时，我们得到的数学模型是有用；否则，我们还应该考虑其他的一些因素，以便建立起更为合理的数学模型。下面再举几个例子说明如何建立微分方程的问题，至于如何求解这些微分方程，则留待以后再讨论。例2镭、铀等放射性元素因不断地放出各种射线而逐渐减少其质量（称为衰变）。根据实验知道衰变速度与剩余物的质量成正比，问这种元素的质量是时间的什么样的函数？解由题意可知有这里表示衰变的速度，即关于的变化率。是比例常数，因元素的不同而异。等式右边的负号表示当时,即当增加时镭的质量总是减少的。例3电路如图(1.2)的电路，它包含电感，电阻和电源。设时，电路中没有电流。我们要求建立：当开关合上后，电流应该满足的微分方程。这里假设、、都是常数。解为了建立电路的微分方程，我们引用关于电路的基尔霍夫第二定律：在闭合回路中，所有支路上的电压的代数和等于零。注意到经过电阻的电压降是，而经过电感的电压降是，由基尔霍夫第二定律得到即求出的应满足条件：当时，如果假定在时，，电源突然短路，因而变为零，此后亦保持为零。那末电流满足方程及条件：当时，。图（1.2）例4研究悬挂重物的弹簧的振动。假设弹簧的质量与重物的质量相比是很小，以致可以略去不计，试建立其微分方程。图(1.3)解如图(1.3)，当重物（质量为）静止不动时，它所受到的两个力，即重力和弹簧的恢复力，互相平衡。如果把它向下拉(或向上推)一小段距离，然后放手。根据常识，知道重物将作上下振动若干次,振幅愈来愈小，最后仍归于静止。今取轴的正方向铅直向下，取重物静止不动时其重心的位置为。在振动过程中，重物受到三个力的作用：1.重力，方向向下。2.弹簧的恢复力，其中是弹簧的刚度，即把它拉长一个单位茶馆年度所需的力。这个力的方向要看还是而定。在前一情况，弹簧的长度比没有悬挂重物时要长，因此恢复力方向向上；在后一情况则相反，恢复力向下。3.空气阻力。根据实验知道空气阻力的大小与重物运动的速度成正比，而方向与运动方向相反。这样，应用牛顿第二定律，就得到:(1.1.10)其中称为阻尼系数，等式中间第二，三两项前面的负号已经在上面解释过。从以上所举的几个例子中不难发现，完全无关、本质上不同的物理现象有时可以由同类型的微分方程来描述。例如，反映物体冷却过程的方程和反映电路中电流变化规律的方程都可以写成不同的物理现象可以具有相同的数学模型这一事实，正是现代许多应用数学工作者和工程人员应用模拟方法解决物理或工程问题的理论依据。例如，利用电路来模拟某些力学系统或机械系统等等在现时已相当普遍。1）常微分方程和偏微分方程2）线性和非线性3）解和隐式解4）通解和特解5）积分曲线和方向场第二节基本概念1）常微分方程和偏微分方程定义1微分方程就是联系着自变量、未知函数以及它的导数的关系式。如果在微分方程中，自变量的个数只有一个，我们称这种微分方程为常微分方程；自变量的个数为两个或两个以上的微分方程称为偏微分方程。方程是常微分方程的例子，这里是未知函数，是自变量。方程(1.1.16)就是偏微分方程的例子，这里是未知函数，、、、是自变量。微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。例如，方程（1.1.13）是二阶常微分方程，而方程（1.1.15）、（1.1.16）都是二阶偏微分方程。一般的阶常微分方程具有形式(1.1.17)这里是的已知函数，而且一定含有；是未知函数,是自变量。练习1指出下面微分方程的阶数，并回答方程是常微分方程还是偏微分方程：2）线性和非线性定义2如果方程(1.1.17)的左端为及，...，的一次有理整式，则称（1.1.17）为n阶线性微分方程。一般的阶线性微分方程具有形式这里是的已知函数。不是线性方程的方程称为非线性方程。例如，方程是二阶非线性方程，而方程（1.1.14）是一阶非线性方程。练习2指出下面微分方程的阶数，并回答是否线性的：3）解和隐式解定义3如果函数代入方程（1.1.17）后，能使它变为恒等式，则称函数为方程（1.1.17）的解。例如，§1.1的例1中,函数就是方程(1.1.1)的解。如果关系式决定的隐函数是（1.1.17）的解，我们称为方程(1.1.17)的隐式解。例如，一阶微分方程有解和；而关系式就是方程的隐式解。练习3验证下列各函数是相应微分方程的解：(c是任意常数)4）通解和特解定义4把含有个独立的任意常数的解称为阶方程（1.1.17）的通解。同样，可以定义阶方程（1.1.17）的隐式通解。为了简单起见，以后我们也不把通解和隐式通解加以区别，统称为方程的解。为了确定微分方程的一个特定的解，我们通常给出这个解所必须满足的条件，这就是所谓的定解条件。常见的定解条件是初始条件。所谓阶微分方程（1.1.17）的初始条件是指如下的个条件：当时，（1.1.19）这里是给定的个常数，初始条件（1.1.19）有时可写为（1.1.20）求微分方程满足定解条件的解，就是所谓定解问题。当定解条件为初始条件时，相应的定解问题，就称为初值问题。满足初始条件的解称为微分方程的特解。初始条件不同，对应的特解也不同。一般来说，特解可以通过初始条件的限制，从通解中确定任意常数而得到。例如，在§1.1的例1中，含有一个任意常数解就是一阶方程（1.1.1）的通解；而就是满足初始条件当时，的特解。练习4给定一阶微分方程,（1）求出它的通解；（2）求通过点（1，4）的特解。5）积分曲线和方向场定义5一阶微分方程（1.1.21）的解代表平面上的一条曲线，我们称它为微分方程的积分曲线。而微分方程(1.1.21)的通解对应于平面上的一族曲线，我们称这族曲线为积分曲线族。满足初始条件的特解就是通过点的一条积分曲线。此外方程(1.1.21）的积分曲线的每一点上的切线斜率刚好等于函数在这点的值，也就是说,积分曲线的每一点及这点上的切线斜率恒满足方程（1.1.21）；反之，如果在一条曲线每点上其切线斜率刚好等于函数在这点的值，则这一条曲线就是方程(1.1.21）的积分曲线。设函数的定义域为D。在每一点处画上一个小线段，其斜率等于。我们把带有这种直线段的区域称为由方程（1.1.21）规定的方向场。这样，求微分方程（1.1.21）经过点的曲线，就是在D内求一条经过的曲线，使其上每一点处切线的斜率都与方向场在该点的方向相吻合。在方向场中，方向相同的点的几何轨迹称为等斜线。微分方程（1.1.21）的等斜线方程为=其中是参数。给出参数的一系列充分接近的值，就可得足够密集的等斜线族，借此可以近似地作出微分方程（1.1.21）的积分曲线。当然，要想更精确地作出积分曲线，还必须进一步弄清楚积分曲线的极值点和拐点等。显然，极值点和拐点如果存在的话，一般地，它们将满足方程=0及。例1求解方程。解等斜线是双曲线。特别地当时双曲线退化为一对直线和，就是说，在轴和轴上积分曲线有相同的切线方向。进一步考虑积分曲线的极值点和拐点。为此，令时得，在此双曲线上，可见积分曲线在双曲线的一支（对应于）上取得极小值，而在其另一支（对应于）上达到极大。同样易知积分曲线的拐点位于曲线上。由以上分析,我们既可近似地画出积分曲线的分布概况如图（1.4）。图(1.4)2.1.1变量分离方程2.1.2可化为变量分离方程的类型2.1.3应用举例第二章一阶微分方程的初等解法微分方程的一个中心问题是“求解”。但是，微分方程的求解问题通常并不是容易解决的。本章将介绍一阶方程的初等解法，即把微分方程的求解问题化为积分问题。一般的一阶方程是没有初等解法的，本章的任务就在于介绍若干能有初等解法的方程类型及其求解的一般方法，虽然这些类型是很有限的，但它们却反映了实际问题中出现的微分方程的相当部分。第一节变量分离方程与变量变换2.1.1变量分离方程定义1形如(2.1.1.1)的方程