常微分方程_§5.2_线性微分方程组的一般理论

齐次线性方程组的通解结构§5.2线性微分方程组的一般理论齐次线性方程组的通解结构()(),(5.14)dxAtxftdt()(),Atftatb这里和在上连续一阶线性微分方程组:()0(5.14)ft若则变为(),(5.15)dxAtxdt称(5.15)为一阶齐线性微分方程组.()0,(5.14)ft若则称为非齐线性微分方程组.齐次线性方程组的通解结构一齐次线性微分方程组1叠加原理12112212(),(),()(5.15),()()()(5.15),,,.mmmmxtxtxtcxtcxtcxtccc如果是方程组的m个解则它们的线性组合也是方程组的解这里是任常数定理2证明:()(1,2,)(5.15)ixtim由于是方程组的m个解则有()()(),1,2,,iidxtAtxtimdt所以1()miiidcxtdt1()miiidxtcdt()()iAtxt1()()miiiAtcxt1miic(),(5.15)dxAtxdt齐次线性方程组的通解结构2函数向量组线性相关与无关定义设12(),(),,()mxtxtxt是一组定义在区间[,]ab上的函数列向量，如果存在一组不全为零的常数1C,2C,...,mC,使得对所有atb，有恒等式否则就称这组向量函数在区间[,]ab上线性无关.则称1()xt,2()xt,...,()mxt在区间[,]ab上线性相关;1122()()()0mmcxtcxtcxt齐次线性方程组的通解结构证明:121,1,cc取则1122()()cxtcxtt12(),()xtxt故在任何区间线性相关例1证明:函数向量组21cos()1,txtt在任何区间都是线性相关的.221sin()1,txtt22cos(1sin)11tttt00,0齐次线性方程组的通解结构证明:要使112233()()()cxtcxtcxt2331230010ttttteeccecee0例2证明:函数向量组1()0,ttexte320(),1txte在(-,+)上线性无关.233(),0ttexte齐次线性方程组的通解结构2133230000,100ttttteeceectec则需因为2330010ttttteeeee42te0,所以1230,ccc123(),(),()xtxtxt故线性无关.t齐次线性方程组的通解结构3函数向量组线性相关与无关的判别准则(1)Wronsky行列式natb设有个定义在上的向量函数11121212221212()()()()()()(),(),,()()()()nnnnnnnxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxt由这n个向量函数所构成的行列式11121212221212()()()()()()[(),(),()](),()()()nnnnnnnxtxtxtxtxtxtWxtxtxtWtxtxtxt称为这n个向量函数所构成的Wronsky行列式齐次线性方程组的通解结构(2)定理312(),(),(),()0,.nxtxtxtatbWtatb如果向量函数在上线性相关则它们的Wronsky行列式证明:12(),(),(),nxtxtxtatb因在上线性相关12,,,nccc从而存在不全为零的常数,使1122()()()0,nncxtcxtcxtatb0[,],tab故对任一确定的有10200(),(),()nxtxtxt即常向量组线性0()0,Wt故0t由的任意性()0,.Wtatb有1102200()()()0,nncxtcxtcxt相关,齐次线性方程组的通解结构(3)定理412(),(),(),()0,.nxtxtxtWtatb如果(5.15)的解线性无关则它们Wronsky的行列式证明:00[,],()0,tabWt若有使得“反证法”则10200(),(),()nxtxtxt数值向量组线性相关,12,,,nccc从而存在不全为零的常数,使得1102200()()()0,(5.17)nncxtcxtcxt现在考虑函数向量1122()()()()nnxtcxtcxtcxt由定理2知,()(5.15),xt是的解齐次线性方程组的通解结构由(5.17)知,()xt该解满足初始条件0()0xt因此,由解的存在唯一性定理知,()0xt即有1122()()()0,nncxtcxtcxtatb12(),(),()nxtxtxtatb故解组在上线性相关,矛盾注1:12(),(),()nxtxtxt(5.15)n个解线性相关()0,.Wtatb注2:12(),(),()nxtxtxt(5.15)n个解线性无关()0,.Wtatb12(),(),()nnxtxtxt即(5.15)个解所构成的Wronsky行列式,或者恒等于零,或者恒不等于零.齐次线性方程组的通解结构(4)定理5(5.15)一定存在n个线性无关的解.证明:0[,],tab任取由解的存在唯一性定理知,(5.15)一定存在满足初始条件10200100010(),(),,()001nxtxtxt12(),(),();[,]nxtxtxttab的解且010200()[(),(),()]10nWtWxtxtxt12(),(),()nxtxtxtatb故在上线性无关.齐次线性方程组的通解结构4通解结构及基本解组定理612(),(),()nxtxtxt如果是(5.15)n个线性无关的解,则1()niiixcxt12n(1)(t)=是(5.15)的通解,其中c,c,c是任常数.12(2)(5.15)()(),(),()nxtxtxtxt的任一解均可表为的线性组合.证明:由已知条件,1()niiixcxtn(t)=是(5.15)的解,它含个任常数,齐次线性方程组的通解结构又因为1212(,,,)(,,,)nnxxxccc111212122212()()()()()()()()()nnnnnnxtxtxtxtxtxtxtxtxt()Wt0,12n故c,c,c彼此独立1()niiixcxt于是(t)=是(5.15)的通解.(2)()(5.15)xt设是的任一解,00(),xtx且12(),(),()5)nxtxtxtn因是(5.1个线性无关的解,从而可知10200(),(),()nxtxtxt数值向量组线性无关,齐次线性方程组的通解结构即它们构成n维线性空间的基,00(),xtx故对向量,12n一定存在唯一确定常数c,c,c满足01102200()()()(),(5.20)nnxtcxtcxtcxt现在考虑函数向量1122()()()()nnxtcxtcxtcxt由定理2知,()(5.15),xt是的解由(5.20)知,()xt该解满足初始条件000()()xtxtx因此,由解的存在唯一性定理,应有()()xtxt即1122()()()()nnxtcxtcxtcxt齐次线性方程组的通解结构推论1(5.15)的线性无关解的最大个数等于n.基本解组:12(),(),();nxtxtxt(5.15)n个线性无关解为(5.15)的一个基本解组.注1:(5.15)的基本解组不唯一.注2:(5.15)所有解的集合构成一个n维线性空间.注3:由n阶线性微分方程的初值问题(5.6)与线性微分方组的初值问题(5.7)的等价性描述,本节所有定理都可平行推论到n阶线性微分方程去.齐次线性方程组的通解结构首先有:12(),(),()nxtxtxt一组(n-1)次可微的纯量函数线性相关的充要条件是,向量函数12'''12(1)(1)(1)12()()()()()(),,,;()()()()nnnnnnxtxtxtxtxtxtxtxtxt线性相关.证明:12(),(),()nxtxtxt设线性相关,12,,,nccc则存在不全为零的常数,使得1122()()()0nncxtcxtcxt将上式对t微分一次,二次,,n-1次得齐次线性方程组的通解结构'''1122()()()0nncxtcxtcxt''''''1122()()()0nncxtcxtcxt(1)(1)(1)1122()()()0nnnnncxtcxtcxt即有12'''1212(1)(1)(1)12()()()()()()0,()()()()nnnnnnnxtxtxtxtxtxtcccxtxtxt即向量组(*)是线性相关的.齐次线性方程组的通解结构反之,如果向量组(*)是线性相关,12,,,nccc则存在不全为零的常数,使得()成立当然有1122()()()0nncxtcxtcxt12(),(),()nxtxtxt这表明线性相关.从而,从4.1.2中Wronsky行列式的概念可看出,从本节定理3,4,5立即分别推出第四章定理3,4,5.从本节定理6立即得到齐次线性方程组的通解结构推论212(),(),()nxtxtxtn如果是阶微分方程111()()0(5.21)nnnnndxdxatatxdtdt;()(1,2,,),inatinatb个线性无关解其中是上连续函数()xt则(5.21)的任一解可表为1122()()()()nnxtcxtcxtcxt12,,,;.nccc这里是相应确定的常数齐次线性方程组的通解结构5解矩阵与基解矩阵及性质(1)定义(5.15),nn如果一个矩阵的每一列都是的解则称这个矩阵为(5.15)的解矩阵.[,](5.15),ab如果该矩阵的列在是的线性无关解组则称该解矩阵为(5.15)的基解矩阵.基解矩阵----以基本解组为列构成的矩阵.12(),(),()()ntttt以(5.15)基本解组为列构成的矩阵,用表示,即12()[(),(),()].ntttt齐次线性方程组的通解结构*(2)定理1(5.15)(),()(5.15),tt一定存在一个基解矩阵如果是的任一解那么()(),(5.22)ttC.n这里C是确定的维向量*(3)定理2()t(5.15)的解矩阵是基解矩阵充要条件是:00det()0(),,[,],det()0,det()0,.tatbtabttatb而且如果对某一则由定理5,6得由定理3,4得齐次线性方程组的通解结构注1:行列式恒等于零的矩阵列向量未必线性相关.如矩阵2101000ttt注2:nn矩阵(t)是(5.15)基解矩阵充要条件是:'()()(),;tAttatb00[,]det()0.tabt且使齐次线性方程组的通解结构例3验证()0tttetete是方程组1'211,01xxxxx其中的基解矩阵.解:由于'(1)()0ttteette11010tttetee1101()t故(t)是解矩阵,又由于det()0tttetete20te()t所以是基解矩阵,齐次线