常微分方程第三章(全部)

第三章一阶微分方程的解的存在定理需解决的问题?,)(),(1000的解是否存在初值问题yxyyxfdxdy?,,)(),(2000是否唯一的解是存在若初值问题yxyyxfdxdy§3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法一存在唯一性定理1定理1考虑初值问题)1.3(,)(),(00yxyyxfdxdy:),(Ryxf在矩形区域其中)2.3(,,00byyaxx,上连续:条件满足并且对Lipschitzy常成立使对所有即存在RyxyxL),(),,(,0212121),(),(yyLyxfyxf,)1.3(0上的解存在且唯一在区间则初值问题hxx),(),,min(),(yxfMaxMMbahRyx这里(1)初值问题(3.1)的解等价于积分方程)5.3(),(00dtytfyyxx的连续解.证明思路(2)构造(3.5)近似解函数列)}({xn0100()(,())xxxyfd得右侧的代入任取一连续函数,)5.3(,)(),(000ybyxx得右侧的代入否则将为解则若,)5.3()(,)(),()(1001yxxxx0201()(,())xxxyfd,)5.3()(,)(),()(2112yxxxx右侧的代入否则将为解则若010()(,()),xnnxxyfd,)(0byxn这里要求,)(),()(1为解则若xxxnnn)}({xn列否则一直下去可得函数(逐步求(3.5)的解,逐步逼近法)).(],[)}({)3(00xhxhxxn上一致收敛于在函数序列这是为了010lim()lim(,())xnnxnnxyfd00lim(,())xnxnyfd即00()(,()),xxxyfd)).(,(],[))}(,({00xxfhxhxxxfn致收敛于上一在只需函数列)()())(,())(,(xxLxxfxxfnn由).(],[)}({00xhxhxxn上一致收敛于在只需),())()(()(110xxxxnnkkk由于等价于函数项级数敛性上一致收在于是函数列,],[)}({00hxhxxn,))()(()(110nnnxxx.],[00上一致收敛性在hxhx.],[)5.3()()4(00且唯一上连续解定义于是积分方程hxhxx下面分五个命题来证明定理,为此先给出积分方程的解如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符号下含有未知函数,则称这样的关系式为积分方程.积分方程.,)(:0程就是一个简单的积分方如xxdttyey.)(,))(,()(),(],[,),(0000为该积分方程的解则称上恒成立在区间使得上的连续函数如果存在定义在区间对于积分方程xyIdtttfyxxyIdtytfyyxxxx命题1初值问题(3.1)等价于积分方程)5.3(),(00dtytfyyxx证明:则的连续解为若,)1.3()(xy,)())(,()(00yxxxfdxxd取定积分得到对第一式从xx0dxxxfxxxx0))(,()()(0即dxxxfyxxx0))(,()(0.)5.3()(的连续解为故xy)1.3(,)(),(00yxyyxfdxdy则有的连续解为若,)5.3()(xy反之dtttfyxxx0))(,()(0,),(上连续在由于Ryxf,))(,(连续从而ttf故对上式两边求导,得))(,()(xxfdxxd且00000))(,()(ydxxxfyxxx.)1.3()(的连续解为即xy构造Picard逐步逼近函数列)}({xn00)(yx00100()(,())xnnxxyfdxxxh),2,1(n)7.3(问题:这样构造的函数列是否行得通,即上述的积分是否有意义?.)(,,)(000的常数值往往取方便但实际上为可任取一般来说连续函数yxx注命题2连续且满足和对于所有)(],,[00xhxxxnn)8.3(,)(0byxn证明:(用数学归纳法)时1ndyfyxxx),()(0010且上连续在显然,],[)(001hxxx01)(yxdyfxx0),(0dyfxx),(000xxMMhb),min(Mbah),(),(yxfMaxMRyx,2时成立当设命题kn上连续且在即],[)(00hxxxkbyxk0)(时当1kndfyxkxxk))(,()(001,),(上连续性知在由Ryxf上连续在],[))(,(00hxxxxfk上连续且在从而],[)(001hxxxk01)(yxkdfkxx))(,(0dfxxk0))(,(0xxMMhb,12时成立当即命题kn,2都成立对所有从而命题n命题3.],[)}({00上一致收敛在函数序列hxxxn].,[),()(lim00hxxxxxnn记证明:考虑函数项级数)9.3(],,[,))()(()(00110hxxxxxxnnn它的前n项部分和为),())()(()()(110xxxxxSnnkkkn.)9.3()}({一致收敛性等价一致收敛性与级数于是xn对级数(3.9)的通项进行估计)()(01xxdfxx0))(,(00xxM)()(12xxdffxx0))(,())(,(01dLxx0)()(01dxMLxx0)(020)(2xxML,条件得到的其中第二个不等式是由Lipschitz条件由Lipschitz有不等式设对于正整数,n)()(1xxnn,)(!01nnxxnML条件有由时则当Lipschitzhxxx,00)()(1xxnndffxxnn0))(,())(,(1dLxxnn0)()(1dxnMLxxnn0)(!0,)()!1(10nnxxnML于是由数学归纳法得知,对所有正整数n,有)()(1xxnn,)(!01nnxxnML)11.3(,00hxxx,00时从而当hxxx)()(1xxnnnnxxnML)(!01,!11收敛由于正项级数nnnhnML.],[)9.3(,00上一致收敛在级数判别法知由hxxsWeierstras.],[)}({00上一致收敛在因而函数序列hxxxn,!1nnhnML现设),()(limxxnn,00hxxx,],[)}({00得的连续性和一致收敛性在则由hxxxn且上连续在,],[)(00hxxxbyx0)(命题4.],[)5.3()(00上连续解定义于是积分方程hxxx证明:条件有由Lipschitz))(,())(,(xxfxxfn)()(xxLn,],[)}({00的一致收敛性得在以及hxxxn)},({xfn函数列)),(,(],[00xxfhxx上一致收敛于函数在)))(,()((xxfxfnn得两边取极限因此对,)7.3()(limxnn001lim(,())xnxnyfd001lim(,())xnxnyfd即)(x00(,())xxyfd.],[)5.3()(00上连续解定义于是积分方程故hxxx命题5].,[),()(,],[)5.3()(0000hxxxxxhxxx则一个连续解上的定义于是积分方程设证明:,)()()(xxxg设,],[)(00上非负连续函数是定义于则hxxxg00()(,())xxxyfd00()(,())xxxyfd由条件得的及Lipschitzyxf),()()()(xxxg00(,())(,())xxxxfdfd0((,())(,()))xxffd0(,())(,())xxffd0()()xxLd0()xxLgd0()((,())(,()))xxgxffd0()(),xxuxLgd令,],[)(00上连续可微函数是定义于则hxxxu于是且),()(),()(0,0)('0xLgxuxuxgxu),()('xLuxu,0))()(('LxexLuxu,0)()(00LxLxexuexu积分得到对最后一个不等式从xx0,0))()(('LxexLuxu,0)()(xuxg故].,[,0)(00hxxxxg即综合命题1—5得到存在唯一性定理的证明.)()(0xuxg一存在唯一性定理1定理1考虑初值问题)1.3(,)(),(00yxyyxfdxdy:),(Ryxf在矩形区域其中)2.3(,,00byyaxx,上连续:条件满足并且对Lipschitzy常成立使对所有即存在RyxyxL),(),,(,0212121),(),(yyLyxfyxf,)1.3(0上的解存在且唯一在区间则初值问题hxx),(),,min(),(yxfMaxMMbahRyx这里命题1初值问题(3.1)等价于积分方程)5.3(),(00dtytfyyxx构造Picard逐步逼近函数列)}({xn00)(yx00100()(,())xnnxxyfdxxxh),2,1(n命题2连续且满足和对于所有)(],,[00xhxxxnn)8.3(,)(0byxn命题3.],[)}({00上一致收敛在函数序列hxxxn命题4.],[)5.3()(00上连续解定义于是积分方程hxxx].,[),()(lim00hxxxxxnn记命题5].,[),()(,],[)5.3()(0000hxxxxxhxxx则一个连续解上的定义于是积分方程设2存在唯一性定理的说明.,,),,()1(件容易判断的两个充分条下面给出在实际应用中一般比较困难条件满足验证它是否关于根据定义去上有定义的函数对于给定在LipschitzyyxfR.),(,),(),(10条件满足上关于在则有界存在且的偏导数上关于在如果LipschitzyRyxfyxfyRyxfy.),(,),(),(20条件满足上关于在则连续的偏导数上关于在如果LipschitzyRyxfyxfyRyxfy),(),(21yxfyxf21212))(,(yyyyyxfy21yyL的几何意义定理中},min{)2(Mbah,),(MyxfR中有在矩形,)1.3(之间与的解曲线的斜率必介于故初值问题MM,),(00的直线和分别作斜率为过点MMyx;)(),)((00中有定义在解所示如图时当axxaxxyaabM.)(,,,;)(),)((0000内在证解才能保时只有当使得无意义外去矩形它有可能在区间内跑到中有定义在不能保证解所示如图时而当RxyMbxxMbxRaxxaxxybabM.0hxx范围为故要求解的存在即为线性方程时当方程,)1.3()3()()(xQyxpdxdy.,],[,],[,)(,1,],[)(),(000且连续