现代设计理论与方法 第2章优化设计

1第2章优化设计李旻编写22.1概述优化设计是借助最优化设计数值计算方法和计算机技术，求取工程问题最优设计方案的方法。对工程问题进行优化设计一般要进行两项工作。第一是将实际问题抽象地用数学模型来描述，包括选择设计变量，确定目标函数，给出约束条件；第二是对数学模型进行必要的简化，并采用适当的最优化方法求解数学模型。32.2优化设计数学模型2.2.1设计变量和设计空间设计变量是表达设计方案的一组基本参数。如几何参数：零件外形尺寸、截面尺寸，机构的运动学尺寸等；物理参数：构件的材料、截面的惯性矩、固有频率等；性能导出量：应力、应变、挠度等。设计变量是对设计性能指标好坏有影响的量，应在设计过程中选择，并且应是互相独立的参数。4全体设计变量可以用向量来表示，包含n个设计变量的优化问题称为n维优化问题，这些变量可表示成一个n维列向量式中，xi（i＝1，2，3，…，n）表示第i个设计变量。当xi的值都确定之后，向量x就表示一个设计方案。12T12[,,,]nnxxxxxxx5一组设计变量可看作设计空间中的一个点，称设计点。所有设计点的集合则构成一个设计空间。（a）（b）图2-1二维平面与三位空间设计变量个数称为自由度，自由度就越大，可供选择的方案就越多，优化的难度就越大，计算的程序也越复杂，计算量也越大。62.2.2约束与可行域在优化设计中，为了得到可行的设计方案，也必须根据具体要求，给设计变量加上种种限制，这就是约束条件。根据约束的特性，可分为：（1）边界约束：直接用来限制设计变量的取值范围，如长度、重量的变化的范围，可直接获得。（2）根据某种性能指标要求推导出来的限制条件，如对应力、变形、振动频率、机械效率等性能指标的限制或者运动参数如位移、速度、加速度的限制等。这些约束可根据设计规范中的设计公式或通过力学分析导出的约束函数来表示。7一组设计变量可看作设计空间中的一个点，称设计点。所有设计点的集合则构成一个设计空间。12()(,,,)0uunggxxxx(1,2,...,)um12()(,,,)0vvnhhxxxx(1,2,...,,)vppn且约束条件可表示成如下形式：（1）不等式约束，（2）等式约束8满足所有约束条件的方案点的集合称为可行区域，简称可行域，用D表示。可行域内的方案点称为可行方案点，简称可行点（或内点），否则称为不可行方案点（或外点）。当方案点位于某个不等式约束的边界上时，称为边界点。12121232122800xxxxxx图2-2线性约束的可行域9图2-3可行域与可行点121221231()10()20()0gxxgxxgxxxx102.2.3目标函数与等值线目标函数是用于评价设计方案好坏的函数，又称为评价函数。目标函数是用设计变量来表示的优化目标的数学表达式，通常表示为),,,()(21nxxxffx求解优化问题的实质就是通过改变设计变量，获得不同的目标函数值，通过比较目标函数值的大小来衡量方案的优劣，从而找出最优方案。目标函数的最优值可能是最大值，也可能是最小值，在建立优化问题的数学模型时，一般将目标函数的求优表示为求极大或极小。为规范起见，将求目标函数的极值统一表示为求其极小值。11图2-4二维目标函数的等值线图2-5旋转抛物面的等值线与极值点122.2.4优化设计的数学模型优化设计问题的数学模型可表述为：在满足约束条件的前提下，寻求一组设计变量，使目标函数达到最优值。一般约束优化问题数学模型的基本表达方式为min()s.t.()01,2,...,()01,2,...,nvufDhvpgumxxxxR1314152.3优化方法数学基础2.3.1梯度与方向导数1．梯度12120(,,,,,)(,,,)()limikkkkiiknkkknxiifxxxxxfxxxfxxxx偏导数梯度向量T12()()()(),,,kkkknffffxxxxxxx16方向导数sxsxsxsx)()(lim)(0kkfffknnkkxxfxxfxxfffkkkxxxxsx2211)()(nnnnkkkkkkkxfxfxfxxfxxfxxffcoscoscoslim)(221122110xxxxxxsxssssx17dxsxxxxxT2121)(coscoscos,,,)(knnfxfxfxffkkkk]),(cos[)(]),(cos[)()()(Tdxxdxdxdxsxxkkkkkffffffk18192.3.2多元函数的泰勒展开式kkkkkkknnkknknknknkkknkkkknnkkknnkknkkkkfffxxxxxxxfxxfxxfxxfxfxxfxxfxxfxfxxxxxxxxxxxxxfxfxfffxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx)(21)()()()()()()()()()()(],,,[21])(,,)(,)([)()(2TT22112222122222212212212212221122112120一阶泰勒近似展开式二阶泰勒近似展开式kkkfffxxxxxT)()()(kkkkkkffffxxxxxxxxxx)(21)()()(2TT在优化设计中，经常根据上式把目标函数近似地表示成二次函数以使问题得到简化。21222.3.3二次型与正定矩阵如果n元二次函数中只含有变量的二次项，则称为二次齐次函数，或二次型，记为AxxxT1,)(njijiijxxaf23矩阵A正定与否可以通过以下方法判别。如果矩阵A的行列式的各阶顺序主子式都大于零，则矩阵A为正定矩阵。即0,,0,02122121112112121121111nnnnnnaaaaaaaaaaaaaa如果矩阵A的行列式的各阶顺序主子式的符号负正相间，即所有奇数阶主子式都为负，所有偶数阶主子式都为正，则矩阵A为负定矩阵。如果矩阵A的行列式的各阶顺序主子式的符号变化不符合以上两种规律，则矩阵A为不定矩阵。242.3.4无约束优化的极值条件25262.3.5凸集、凸函数与凸规划27（a）（b）（c）图2-6凸集与非凸集图2-7一元凸函数图像2829302.3.6有约束优化的极值条件（a）b）图2-8目标函数与约束函数都是凸函数的极值问题31（a）（b）图2-9目标函数与约束函数不全是凸函数的极值问题32对于约束优化问题，不仅需要判断约束极值点存在的条件，还要判别所找到的极值点是可行域内的全局最优点，还是局部最优点。显然，后一问题更复杂，而且至今仍没有统一而有效的判别方法。库恩－塔克（Kuhn-Tucker，简称K-T）条件是非线性规划领域中最重要的理论成果之一，它适用于含有等式约束和不等式约束的一般非线性规划问题，是确定迭代点为极值点的必要条件，对于凸规划问题来说它同时也是充分条件。kx3334使用K-T条件时，需要注意以下两点：（1）满足K-T条件的点是约束极值点，不一定是全局最优点。但是对凸规划问题来说，K-T条件不仅是确定约束极值点的必要条件，也是确定全局最优点的充分条件，并且凸规划问题的K-T点是唯一的。（2）拉格朗日乘子向量不一定唯一。35（a）（b）图2-10二维优化问题只有一个起作用约束的极值情况36（a）（b）图2-11二维优化问题有两个起作用约束的极值情况37（a）b）图2-12多维优化问题有约束的极值情况3839图2-13例2-5图402.3.7数值迭代算法图2-14一维搜索最小值点0001sxx)()(01xxffkkkksxx1)()(1kkffxx41（a）求无约束最优解的迭代过程（b）求约束最优解的迭代过程图2-15二维优化问题的数值迭代求解过程示意图4211kkxx21)()(kkffxx31)()()(kkkfffxxx4)(kfx数值迭代计算常用的终止准则有以下三种。（1）点距准则。（2）函数值下降量准则。或（3）梯度准则。432.4一维搜索法)()(min1kkkffsxx一维搜索是多维搜索的基础。求解一维优化问题首先要确定初始的搜索区间，然后再求极小值点。一维优化方法可分为两类：直接法：按某种规律取若干点计算其目标函数值，并通过直接比较目标函数值来确定最优解；间接法：即解析法，需要利用导数。442.4.1搜索区间的确定•搜索区间应当包含有目标函数的极小值点，而且应当是单峰区间，即在该区间内目标函数只有一个极小值点。•下凸单峰函数的性质：在极小值点左边，函数值应严格下降。在极小值点右边，函数值应严格上升。45单峰区间46•进退法一般分两步：一是初始探察确定进退，二是前进或后退寻查。图2.16前进运算4748图2－17后退运算49502.4.2黄金分割法•黄金分割法是利用区间消去法的原理，通过不断缩小单峰区间长度，即每次迭代都消去一部分不含极小值点的区间，使搜索区间不断缩小，从而逐渐逼近目标函数极小值点的一种优化方法。•黄金分割法是直接寻优法，通过直接比较区间上点的函数值的大小来判断区间的取舍，这种方法具有计算简单，收敛速度快等优点。51根据上述方法，可在新搜索区间里再取两个新点比较函数值来继续缩小区间，但这样做效率较低，应该考虑利用已经计算过的区间内剩下的那个点。图2-18搜索区间缩小的示意图522.黄金分割法（0.618法）53图2-19黄金分割法原理54552.4.3二次插值法二次插值法是多项式逼近法的一种。它在目标函数的搜索区间内，利用三点的函数值构造二次插值多项式来近似代替一维寻优的复杂目标函数，然后用该插值函数的最优解近似代替目标函数的近似最优解，并结合区间消去的原理，按照一定规律缩短区间，并在新区间内重新构造三点二次插值多项式，再求其极值，如此反复，直到满足一定精度要求时停止迭代计算。)(f2321)(ddd56图2-20二次插值法原理57323332132223221212131211)()()(fdddfdddfddd2332222112333222221111111fffd1111112332222112332222112fffd2332222113322113111111fffd58图2-20二次插值法原理59（a）（b）图2-21二次插值法的区间缩短示意图60图2-21二次插值法的区间缩短示意图612.5.1最速下降法()kkfsx1()kkkkfxxx[()]min[()]kkkkkffffxxxx图2-22最速下降法的搜索方向2.5无约束多维优化算法6263图2-23最速下降法的锯齿现象642.5.2牛顿法图2-24牛顿法求解一维问题的示意图65写成迭代形式，有TT1()()()[()][][]()[]2kkkkkkfffxxxxxxxxHxxx()()()[]kkkfxxHxxx1[()]()kkkfxxHxx11[()]()kkkkfxxHxx6667从牛顿方向的构造可知，对于正定二次函数，牛顿方向就是指向其极小值点的方向。因此用牛顿法求解目标函数为正定二次函数的无约束最优化问题，只需