高等数学上册教案

第-1–页高等数学教案一、课程的性质与任务高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。第一章：函数与极限教学目的与要求18学时1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。4.掌握基本初等函数的性质及其图形。5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。6.掌握极限的性质及四则运算法则。7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。第一节：映射与函数一、集合1、集合概念具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称第-2–页为该集合的元素表示方法：用A，B，C，D表示集合；用a，b，c，d表示集合中的元素1)},,,{321aaaA2)}{PxxA的性质元素与集合的关系：AaAa一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。常见的数集：N，Z，Q，R，N+元素与集合的关系：A、B是两个集合，如果集合A的元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作BA。如果集合A与集合B互为子集，则称A与B相等，记作BA若作BA且BA则称A是B的真子集。空集：A2、集合的运算并集BA：}Ax|{xBABx或交集BA：}Ax|{xBABx且差集BA\：}|{\BxAxxBA且全集I、E补集CA：集合的并、交、余运算满足下列法则：交换律、ABBAABBA第-3–页结合律、)()(CBACBA)()(CBACBA分配律)()()(CBCACBA)()()(CBCACBA对偶律(cccBABA)cccBABA)(笛卡儿积A×B}|),{(ByAxyx且3、区间和邻域开区间),(ba闭区间ba,半开半闭区间baba,,有限、无限区间邻域：)(aU}{),(axaxaUa邻域的中心邻域的半径去心邻域),(aU左、右邻域二、映射1.映射概念定义设X，Y是两个非空集合，如果存在一个法则f，使得对X中的每一个元素x，按法则f，在Y中有唯一确定的元素y与之对应，则称f为从X到Y的映射，记作第-4–页YXf：其中y称为元素x的像，并记作)(xf，即)(xfy注意：1）集合X；集合Y；对应法则f2）每个X有唯一的像；每个Y的原像不唯一3)单射、满射、双射2、映射、复合映射三、函数1、函数的概念：定义：设数集RD，则称映射RDf:为定义在D上的函数记为Dxxfy)(自变量、因变量、定义域、值域、函数值用f、g、函数相等：定义域、对应法则相等自然定义函数；单值函数；多值函数、单值分枝.例：１)ｙ＝２2)ｙ＝x3)符号函数4)取整函数xy（阶梯曲线）5)分段函数11102xxxxy2、函数的几种特性010001xxxy第-5–页1）函数的有界性(上界、下界；有界、无界)有界的充要条件：既有上界又有下界。注：不同函数、不同定义域，有界性变化。2)函数的单调性（单增、单减）在x1、x2点比较函数值)(1xf与)(2xf的大小（注：与区间有关）3)函数的奇偶性(定义域对称、)(xf与)(xf关系决定)图形特点(关于原点、Y轴对称)4)函数的周期性(定义域中成立：)()(xflxf)3、反函数与复合函数反函数：函数)(:DfDf是单射，则有逆映射xyf)(1，称此映射1f为f函数的反函数函数与反函数的图像关xy于对称复合函数：函数)(ygu定义域为D1，函数)(xfy在D上有定义、且1)(DDf。则)())((xfgxfgu为复合函数。(注意：构成条件)4、函数的运算和、差、积、商(注：只有定义域相同的函数才能运算)5、初等函数：1)幂函数：axy2)指数函数：xay3)对数函数)(logxya4)三角函数第-6–页)cot(),tan(),cos(),sin(xyxyxyxy5)反三角函数)arcsin(xy，)arccos(xy)cot()arctan(xarcyxy以上五种函数为基本初等函数6)双曲函数2xxeeshx2xxeechxxxxxeeeechxshxthx注：双曲函数的单调性、奇偶性。双曲函数公式shyshxchychxyxchshyshxchychxyxchshychxchyshxyxshshychxchyshxyxsh)()()()(反双曲函数：arthxyarchxyarshxy作业：同步练习册练习一第二节：数列的极限一、数列第-7–页数列就是由数组成的序列。1）这个序列中的每个数都编了号。2）序列中有无限多个成员。一般写成：naaaaa4321缩写为nu例1数列n1是这样一个数列nx，其中nxn1，5,4,3,2,1n也可写为：514131211可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近0，记为01limnn1、极限的N定义：axNnNn0则称数列nx的极限为a，记成axnnlim也可等价表述：1）)(0axNnNn2）)(0aOxNnNn极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。第-8–页二、收敛数列的性质定理1：如果数列nx收敛，那么它的极限是唯一定理2如果数列nx收敛，那么数列nx一定有界定理3：如果axnxlim且a0(a0)那么存在正整数N0，当nN时，)0(0nnxx定理4、如果数列}{nx收敛于a那么它的任一子数列也收敛,且收敛于a。第三节：函数的极限一、极限的定义1、在0x点的极限1）0x可在函数的定义域内，也可不在，不涉及f在0x有没有定义，以及函数值)(0xf的大小。只要满足：存在某个0使：Dxxxx),(),(0000。2）如果自变量x趋于0x时，相应的函数值)(xf有一个总趋势-----以某个实数A为极限，则记为：Axfxx)(lim0。形式定义为：Axfxxx)()0(00注：左、右极限。单侧极限、极限的关系2、x的极限第-9–页设：),()(xxfy如果当时函数值有一个总趋势------该曲线有一条水平渐近线Ay-----则称函数在无限远点有极限。记为：Axfx)(lim在无穷远点的左右极限：)(lim)(xffx)(lim)(xffx关系为：)(lim)(lim)(limxfAxfAxfxxx二、函数极限的性质1、极限的唯一性2、函数极限的局部有界性3、函数极限的局部保号性4、函数极限与数列极限的关系第四节：无穷小与无穷大一、无穷小定义定义：对一个数列nx，如果成立如下的命题：nxNnN0则称它为无穷小量，即0limnxx注：1、的意义；2、nx可写成0nx；),0(nx3、上述命题可翻译成：对于任意小的正数，存在一个号码第-10–页N，使在这个号码以后的所有的号码n，相应的nx与极限0的距离比这个给定的还小。它是我们在直观上对于一个数列趋于0的认识。定理1在自变量的同一变化过程0xx（或)x中，函数xf具有极限A的充分必要条件是Axf)(，其中是无穷小。二、无穷大定义一个数列nx，如果成立：GxNnNGn0那么称它为无穷大量。记成：nxxlim。特别地，如果GxNnNGn0，则称为正无穷大，记成nxxlim特别地，如果GxNnNGn0，则称为负无穷大，记成nxxlim注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。三、无穷小和无穷大的关系定理2在自变量的同一变化过程中，如果)(xf为无穷大，则)(1xf为无穷小；反之，如果)(xf为无穷小，且0)(xf则)(1xf为无穷大即：非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当0nx时：有nxxx1lim0lim第-11–页01limlimnxxx注意是在自变量的同一个变化过程中第五节：极限运算法则1、无穷小的性质设nx和ny是无穷小量于是：（1）两个无穷小量的和差也是无穷小量：0)(lim0lim0limnnxnxnxyxyx（2）对于任意常数C，数列nxc也是无穷小量：0)(lim0limnxnxxcx（3）nyxn也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无穷小量。0)(lim0lim0limnnxnxnxyxyx（4）nx也是无穷小量：0lim0lim00nxxnxxxx（5）无穷小与有界函数的积为无穷小。2、函数极限的四则运算1、若函数f和g在点0x有极限，则)(lim)(lim))()((lim000xgxfxgxfxxxxxx2、函数f在点0x有极限，则对任何常数a成立)(lim))((lim00xfaxfaxxxx第-12–页3、若函数f和g在点0x有极限，则)(lim)(lim))()((lim000xgxfxgxfxxxxxx3、若函数f和g在点0x有极限，并且0)(lim0xgxx，则)(lim)(lim)()(lim000xgxfxgxfxxxxxx极限的四则运算成立的条件是若函数f和g在点0x有极限例：求下述极限4、复合函数的极限运算法则定理6设函数)}([xgfy是由函数)(ufy与)(xgu复合而成，)]([xgf在点0x的某去心邻域内有定义，若0)(lim0uxgxx，Aufuu)(lim0，且存在00，当),(000xux时，有0)(uxg，则93lim23xxx4532lim21xxxx357243lim2323xxxxx52123lim232xxxxx12352lim223xxxxxxxxsinlimAufxgfuuxx)(lim)]([lim00第-13–页第六节：极限存在准则两个重要极限定理1夹逼定理：三数列nx、ny和nz，如果从某个号码起成立：1）nnnzyx，并且已知nx和nz收敛，2）nxnxzaxlimlim，则有结论：aynxlim定理2单调有界数列一定收敛。单调增加有上界的数列一定收敛；单调减少有下界的数列一定收敛。例：证明：1sinlim0xxx例：xxxtanlim020cos1limxxxxxxarcsinlim0证明：xxx)11(lim有界。求xxx)11(lim的极限第-14–页第七节：无穷