初中数学教材中的数学文化试题赏释

初中数学教材中的数学文化试题赏释屈景兰潘祥万2017高考考试大纲修订内容数学部分的要求是：“在能力要求内涵方面，增加了基础性、综合性、应用性、创新性的要求，增加了数学文化的要求。同时对能力要求进行了到位的说明，使能力要求更加明确具体”。在整个考纲的修改部分，特别强调了要增加对于数学文化的考查。作为教学一线的老师，除了关注初中数学教学的实际外，也不得不围绕高考这根指挥棒开展一些教学工作。而具体的体现就是在其他兄弟省、市的中考数学试卷里就出现了与数学文化有关的题目。这些题型的出现，其意图是向通过解题让孩子感受中国的传统文化之美并予以传承。本文就对教材中涉及的数学文化试题和一些省、市的中考试题做一个简单的总结以飨同仁。一、源于“实际生活中的收、支”的表示问题。在《数学》七年级（上）有理数这章开始讲正、负数时，知道数的产生和发展与生活有关的。如实物计数，结绳计数，刻道计数等是原始社会的计数方法，说明当时如何用小石子检查放牧归来的羊的只数；用结绳的方法统计猎物的个数；用在木头上刻道的方法记录捕鱼的数量等等。古时候人们计数的方法有（结绳）记数，（筹码）记数和（算盘）记数，而算筹也是一种表示数的工具。在中国的古代用算筹进行计算，红色（或正放）算筹表示正数，黑色（或斜放）算筹表示负数。例1.史料证明：追溯到两千多年前，中国人就开始使用负数，且在世界上也是首创。而中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数。如果收入100元记作+100元，那么-60元表示（）A.支出40元B.收入40元C.支出60元D.收入60元。解析：随着时代的进步，社会向前发展，一些繁杂（摆算筹）的计数方法也得改进。后来的数学家们用“+、–”表示正、负数，知道其涵义后，书写简洁又方便。赏释：以教材中旁白作为切入点，了解古时人们计数的方式，进而考查正负数在实际生活中的意义。二、源于《阅读与思考》中的有关问题（一）中国人最先使用负数〖1〗、〖2〗、中国是世界上首先使用负数的国家。而负数产生的原因有：一是来源于生活和生产实际；另一个是解方程的需要。战国时期李悝所著的《法经》中已出现使用负数的实例：“衣五人终岁用千五百不足四百五十。”在甘肃居延出土的汉简中，出现了大量的“负算”……以负与得相比较，表示缺少、亏空之意，由此说明负数产生于生活实践的需要；据世界上第一部关于负数完整介绍的古算书《九章算术》记载，由于在解方程时遇到了小数减大数的情况，为了使方程能解，数学家发明了现在使用负数。同时该书率先给出了负数的定义：“今两算得失相反，要令正负以名之”，并辩证地阐明：“言负者未必负于少，言正者未必正于多。”比意大利数学家邦贝利在他的《代数学》中给出负数的定义要早得多。例2.计算：—8.4+10—4.2+5.7解：原式=—8.4—4.2+（10+5.7）=—12.6+15.7=3.1解析：主要是有理数加减法则及运算律的考查。赏释：有理数加减法则，在我国的古代数学著作《九章算术》的“方程”一章中，并给出名为“正负术”的算法。而“正负术”就是今天的正负数加减法则。遗憾的是未能总结出今天所学习的乘除法法则。直到1299年元代朱世杰的《算学启蒙》中才有明确记载：“同名相乘为正，异名相乘为负，同名相除所得为正，异名相除所得为负。”这与我们现在学习的有理数乘除法法则是一致的。（二）与“‘方程’史话〖3〗”有关的方程试题人们对方程的表示及解法的研究有很久远的历史。不管是公元820年左右中亚西亚的数学家阿尔-花拉子米著的《对消与还原》，还是公元前200～前50年古代中国的数学著作《九章算术》及宋元时期数学家创立的“天元术”，用“天元”表示未知数（与现今代数中的列一元方程解应用题的方法基本上是一致）而建立方程。这种方法的代表著作是数学家李冶写的《测圆海镜》，书中的“立天元一”就相当于现在的设未知数x。而后的清代数学家李善兰把国外数学著作翻译过来，就将equation一词译为“方程”，即含有未知数的等式称为方程，沿用至今。例3.在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的，如图1，图2，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是3219423xyxy（1）写出图2所示的算筹图所表示的方程组；（2）请你求出在（1）中写出的方程组的解．分析：由图1可得1个竖直的算筹数算1，一个横的算筹数算10，每一横行是一个方程，第一个数是x的系数，第二个数是y的系数，第三个数是相加的结果：前面的表示十位，后面的表示个位，由此可得图2的表达式．（1）根据图1所示的算筹的表示方法，可推出图2所示的算筹的表示的方程组：2114327xyxy；（2）①×2-②得，-y=-5，即y=5，把y=5代入②得，4x+3×5=27，x=3．所以方程组的解为：35xy点评：考查列二元一次方程组；关键是读懂图意，得到所给未知数的系数及相加结果．例4.（2017年连云港市）《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客来到此店中，一房七客多七客，一房九客一房空。”则客人有位，客房有间。例5.（2016.铜仁）我国古代名著《九章算术》中有一题“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海。今凫雁俱起，问何日相逢？”（凫：野鸭）设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过x天相遇，可列方程为（）A.17-9x）（B.179x）（C.191-71x）（D.19171x）（例6.元代朱世杰所著的《算学启蒙》里有这样一道题：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几日追及之？”良马天可以追上驽马。①②解析：三个题都是列方程与解方程的问题，是课程标准要求及考查的知识点。赏释：对上述三个试题，均是我国古典数学著作《算法统宗》、《九章算术》、《算学启蒙》（人教版七年级上P112中的注释）中的方程问题。而对一次方程或一次方程组的解法在《九章算术》中有比较完整的论述。让学生了解我国数学文化的辉煌成就，进而增强民族自豪感和学习数学的信心。过去代数的研究主要是对方程的研究。在我国南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除算法》中有这样一个问题：“直田积（矩形面积）八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步。答：阔二十四步，长三十六步。”这个问题实际上是古代的一元二次方程问题。（二）源于生活中的长度测量问题无论何时，在日常的生活或生产中，人们经常会遇到计算和测量。随着科学的不断发展，而计量单位也不断的在更新，精确度也提高了。我们见过的测长度的工具有：木尺、塑料尺、卷尺、钢卡尺、游标卡尺等。如果对测量精度要求不高，我们也可用肘、拃、步长等来估计距离。如我国的传统中医理论中依据经络脉理寻求穴位等，也有测量。例7.《索竿之长》问题一支竹竿一条索，索比竿子长一托。对折索子来量竿，却比竿子短一托。则索长托，竿长托。解析：这是生活中的一个测量问题。一托是一个人的两只手臂伸直的长度，与人的手臂长短有关，一般人的一托是5尺，就是1.7米左右。赏释：主要应搞清楚古时候的计量有哪些，可以不必纠缠与现在长度有何关联，没必要考察。虽是一个从测量问题，实则归为方程问题。例8.(2017.泸州,2016.太原)已知三角形的三遍长分别为,,abc，求其面积问题，中外数学家曾经进行过深入的研究，故希腊的几何学甲海伦给出求其面积的海伦公式()()()Sppapbpc，其中2abcp；我国南宋时期数学家秦九韶（约1202-1261）曾提出利用三角形的三边求其面积的秦九韶公式222221()22abcSab，若一个三角形的三边分别为2,3,4，其面积是（）A．3158B．3154C．3152D．152解析:此题是源于二次根式这章中“阅读与思考”中海伦—秦九韶公式（三斜求积公式）的介绍为背景，考查学生对二次根式代值计算化简问题。赏释：秦九韶在1247年完成的著作《数书九章》就总结了这个公式。而《数书九章》是一部划时代的数学巨作，全书共18卷，81题，分九大类：大衍类、天时类、田域类、測望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类。而此书实用性强，所设问题复杂，解题步骤详，对“大衍求一术”（一次同余组解法）和“正负开方术”（高次方程的数值解法）等有深入研究。（三）源于“杨辉三角〖4〗”问题2011版初中数学课程标准指出：数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养。在数学教学中，结合学生已有认知和知识水平应当注重发展学生的“数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想”。除了培养发展基本的数学素养和数学思想外，还要把“应用意识和创新意识”两方面的精神贯穿在教育教学中。作为教学一线的教育者应结合教材中提供的素材，适当的进行拓展、延伸，使学生的知识面得以拓宽，为后续的学习打下基础；而下面两个地方的中考试题就是一个很好的例证，也为我们的教学开展指明了方向。例9.（2016．四川广安）我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”．这个三角形给出了（a＋b）n（n＝1，2，3，4……）的展开式的系数规律(按a的次数由大到小的顺序)11（a＋b）1＝a＋b121（a＋b）2＝a2＋2ab＋b21331（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b314641（a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4…………请依据上述规律：写出（x－2x）2016展开式中含x2014项的系数是：．解析：在初中数学教材八年级（上）《整式的乘法与因式分解》这一章中学习了幂的意义和整式乘法公式，而完全平方公式实际上杨辉三角的特殊。本题主要考查幂的运算和整式乘法运算．首先确定x2014是展开式中第几项，根据杨辉三角即可解决问题．解：（x﹣）2016展开式中含x2014项的系数，根据杨辉三角，就是展开式中第二项的系数，即﹣2016×2=﹣4032．故答案为﹣4032．例10.（2014.四川省巴中市）图中是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角形”.它的出现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角形”中有许多规律，如它的每一行数字正好对应了nab（n为自然数）的展开式中a按次数从大到小排列的项的系数，例如2222abaabb展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如3322333abaababb展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字.请认真观察此图，写出4ab的展开式为111（a＋b）1＝a＋b121（a＋b）2＝a2＋2ab＋b21331（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b314641（a＋b）4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4…………【答案】432234464aabababb赏释：在我国古代，“幂”的早期含义是泛指方形的东西。到三国时代，刘徽给《九章算术》作注时第一次在数学中使用幂表示乘积。到明朝徐光启翻译《几何原本》时，用“自乘之数曰幂”来解释幂，明确给出了幂下了定义。后来，随着数学家们的深入研究，在1591年法国数学家韦达的代数名著《分析方法入门》中才有现代意义的幂的概念。在教学中，我们应清楚地告知：幂是乘方的结果，不是乘方。对于题中谈到的杨辉三角，实际上是高中数学教材中“二项式定理”学习的内容。我国南宋时期杰出的数学家和教育家杨辉在公元1261年著《详解九章算术》中载有“开方作法本源”图，使得贾宪的成果得以保存。由于“开方作法本源”图出自杨辉的著作，后人称“开方作法本源”图为杨辉三角。事实上，杨辉作注：“出《释锁算术》，贾宪用此术”。所以，著名数学家华罗庚教授曾建议称之为“贾宪—杨辉三角”，现在“贾宪三角”“杨辉三角”并用，对于这个科学成果，比西方早500年左右。我国古代有这样的数学成就，是非常值得骄傲的，是能激发中华民族自豪感的。（四）源于“勾股定理”证明问题2000