高等数学下册教案

教案2010～2011学年第2学期学院(系、部)数学与信息科学学院系(教研室或实验室)大学数学教学部课程名称高等数学（II）授课班级10203301-2/10216301-2主讲教师王兵贤职称讲师使用教材高等数学（第六版）同济大学出版社东华理工大学教务处制课程概况课程编号10111200课程名称高等数学（II）学分6类别必修课（√）选修课（）理论课（）实验课（）任课教师王兵贤职称讲师总计：90学时讲课：84学时实验：6学时授课对象专业班级：10203301-2（给排水工程），10216301-2（土地资源管理）共4个班基本教材和主要参考资料教材：《高等数学（上、下册）》（第六版），同济大学数学系编参考资料：1.同济大学编,《高等数学（上、下册）》（第五版）2.马智恩编《工科数学分析》教学目的要求《高等数学（II）》课程是我院理工科本各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。通过本课程的学习，要使学生获得空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数和常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。教学重点难点高等数学具有逻辑性强、概念抽象、应用广泛等特点。本课程的重点：微分方程、无穷级数、空间解析几何、多元函数学微分学、多元函数学积分学。本课程的难点是多元函数的积分学.对难点要从几何直观入手，采用模具、幻灯、投影、计算机等辅导工具，运用科学的教学方法，采取现代化的教学手段，循序渐进，培养学生的空间想象能力，最终达到突破难点的目的。-1-高等数学（II）课程教案授课时间第一周（周三）第1-2节课次1授课方式（请打√）理论课□√讨论课□实验课□习题课□其他□课时安排2授课题目（教学章、节或主题）：第七章第五节可降阶的高阶微分方程上一课次教学内容提要在前一学期学习了微分方程的基本概念以及一阶微分方程的解法。本课次教学目的、要求（1）掌握可降阶的高阶微分方程的三个基本类型；（2）掌握用降阶法解下列微分方程：y(n)=f(x),y′′=f(x,y),y′′=f(y,y′)；（3）了解各类型方程的应用。教学重点及难点：（1）用导数与微分的定义推导可降阶微分方程的解法。（2）特别强调第三类型微分方程的解法。教学基本内容与教学设计（含时间分配）方法及手段一、型（15m）)()(xfyn=特点：右侧是x的函数；解法：只要把看作新的未知函数，则原方程就是新未知函数的一阶微分方程，两边积分就得到一个)(1−ny1−n阶的微分方程：∫+=−11Cdxxfyn)()(.同理可得：[]212CdxCdxxfyn++=∫∫−)()(.依此法继续进行，接连积分次，便得到原方程的含有个任意常数的的通解。nn例1：求微分方程的通解。xeyxcos'−=2例2：质量为的质点受的作用沿Ox轴做直线运动，设力mF)(tFF=在开始时刻时，随着时间t的增大，均匀的减小，直到时，，如果开始时质点位于远点，且初速度为零，求这质点的运动规律。0=t00FF=)(FTt=0=)(TF黑板演示例2：用多媒体演示讲解。-2-二、型（30m）)',(yxfy=特点：针对于二阶微分方程的格式，右侧缺少y项。解法：用换元的思想。令，则，则原方程可化简为)('xpy='py=),('pxfp=。这样就得到一个关于变量x、的一阶微分方程，设其通解为p),(1Cxpϕ=，因为，因此又得到一个一阶微分方程)('xpy=),('1Cxyϕ=，对它进行积分，便得到原方程的通解为：。∫+=21CdxCxy),(ϕ例3求微分方程。xyy+='例4设有一均匀、柔软的绳索，两端固定，绳索仅受重力的作用而下垂，试问该绳索在平衡状态时时怎样的曲线？三、型（40m）（难点）)',(yyfy=特点：针对于二阶微分方程的格式，右侧缺少x项。解法：用换元的思想。（但要注意与情形二的区别）令，则)('ypy=dydppy=，则原方程可化简为),(pyfdydpp=。这样就得到一个关于变量、的一阶微分方程，设其通解为yp),(1Cypϕ=，因为，因此又得到一个一阶微分方程)('ypy=),('1Cyyϕ=，用分离变分法求解得到原方程的通解为：∫+=21CxCydy),(ϕ。例5求微分方程。02=−'yyy例6一个离地面很高的物体，受地球引力的作用有静止开始落向地面，求它落到地面时的速度和所需的时间（不计空气阻力）四、小结（5m）黑板演示例4：用多媒体演示讲解。例6：用多媒体演示讲解。作业和思考题：P323:1(3)-(5),3.课后小结：讲述数学方法用讲授和讨论相结合的方法很好。-3-高等数学（II）课程教案授课时间第一周（周五）第3-4节课次2授课方式（请打√）理论课□√讨论课□实验课□习题课□其他□课时安排2授课题目（教学章、节或主题）：第七章第六节高阶线性微分方程上一课次教学内容提要可降阶的高阶微分方程的解法，三种类型的微分方程，特别强调第三类型的微分方程。本课次教学目的、要求（1）了解高阶线性微分方程的概念；（2）掌握函数线性相关、线性无关的概念；（3）掌握高阶线性微分方程阶的结构。教学重点及难点：高阶线性微分方程的解的结构是本次课的重点和难点。教学基本内容与教学设计（含时间分配）方法及手段一、概念的引入（10m）例1：:设有一弹簧下挂一重物,如果使物体具有一个初始速度,物体便离开平衡位00≠v置,并在平衡位置附近作上下振动.试确定物体的振动规律.)(txx=由此例题可以引出：)()()(xfyxQdxdyxPdxyd=++22二阶线性微分方程当时，二阶线性齐次微分方程；0=)(xf当时，二阶线性非齐次微分方程0≠)(xfn阶线性微分方程).()()()()()(xfyxPyxPyxPynnnn=+′+++−−111L例题用多媒体演示讲解。oxx-4-二、线性微分方程的解的结构1.二阶齐次方程解的结构(30m))1(0)()(=+′+′′yxQyxPy定理1如果函数与是方程(1)的两个解,那末)(1xy)(2xy2211yCyCy+=也是(1)的解.（是常数）21,CC问题:（讨论）一定是通解吗？2211yCyCy+=定义：设为定义在区间nyyy,,,L21I内的个函数．如果存在个不全为零的常数，使得当nnx在该区间内有恒等式成立02211=+++nnykykykL，那么称这个函数在区间nI内线性相关．否则称线性无关特别地:若在I上有≠)()(xyxy21常数，则函数与在I上线性无关.)(xy1)(xy2定理2：如果与是方程(1)的两个线性无关的特解,那么就是方程(1)的通解.)(xy1)(xy22211yCyCy+=2.二阶非齐次线性方程的解的结构（25m）定理3设是二阶非齐次线性方程*y)()()()(2xfyxQyxPy=+′+′′的一个特解,是与(2)对应的齐次方程(1)的通解,那么是二阶非齐次线性微分方程(2)的通解.Y*yYy+=定理4设非齐次方程(2)的右端是几个函数之和,如)(xf)()()()(21xfxfyxQyxPy+=+′+′′而与分别是方程,*1y*2y)()()(1xfyxQyxPy=+′+′′)()()(2xfyxQyxPy=+′+′′举例说明举例说明举例说明-5-的特解,那么就是原方程的特解.*2*1yy+三、例题分析（20m）：例1设线性无关的函数、、都是二阶非齐次线性微分方程1y2y3y)()(')(xfyxQyxPy=++的解，、是任意的常数，则该方程的通1C2C解是（）（A）；（B）32211yyCyC++3212211yCCyCyC)(+++；（C）32122111yCCyCyC)(−−−+；（D）32122111yCCyCyC)(−−++例2已知微分方程)()(')(xfyxQyxPy=++有三个解xy=1、、xey=2xey23=，求此方程满足初始条件3010==)(',)(yy的特解。四、小结（5m）例6：用多媒体演示讲解。作业和思考题：P331:3，4(4)-(6).课后小结：数学概念的讲述需要典型实例的支持。-6-高等数学（II）课程教案授课时间第二周（周三）第1-2节课次3授课方式（请打√）理论课□√讨论课□实验课□习题课□其他□课时安排2授课题目（教学章、节或主题）：第七章第七节常系数齐次的线性微分方程上一课次教学内容提要在前一学期学习了二阶线性微分方程的解的结构。本课次教学目的、要求（1）掌握常系数线性微分方程解的形式。（2）掌握常系数齐次线性微分方程的解法。教学重点及难点：（1）特征方程、特征根、通解的格式。（2）特征方程有两个共轭复根时，通解的形式。教学基本内容与教学设计（含时间分配）方法及手段一、二阶线性微分方程解的结构的回顾。（5m）二、定义（10m）n阶常系数线性微分方程的标准形式)()()(xfyPyPyPynnnn=+′+++−−111L二阶常系数齐次线性方程的标准形式0=+′+′′qyypy，二阶常系数非齐次线性方程的标准形式)(xfqyypy=+′+′′。三、二阶常系数齐次线性方程解法0=+′+′′qyypy-----特征方程法（15m）设将其代入上方程,得，,rxey=02=++rxeqprr)(,0≠rxeQ故有特征方程。02=++qprr特征根,,24221qppr−±−=情形（I）(10m)有两个不相等的实根)(0Δ特征根为,2421qppr−+−=,2422qppr−−−=多媒体演示与讨论黑板演示-7-两个线性无关的特解,xrey11=,xrey22=得齐次方程的通解为;2121xrxreCeCy+=例1：求微分方程023=++yyy'.情形（II）(15m)有两个相等的实根)(0=Δ特征根为,221prr−==一特解为,xrey11=,)(12xrexuy=设另一特解为代入原方程并化简，，，将222yyy′′′,)()(021211=+++′++′′uqprrupru知,0=′′u取,)(xxu=则得齐次方程的通解为.,xrxey12=xrexCCy121)(+=例2：求微分方程096=++yyy'.情形（III）(20m)有一对共轭复根)(0Δ特征根为,1βαjr+=,2βαjr−=,)(xjeyβα+=1,)(xjeyβα−=2重新组合)(21211yyy+=,cosxexβα=)(21221yyjy−=,黑板演示sinxexβα=得齐次方程的通解为).sincos(xCxCeyxββα21+=例3：.052的通解求方程=+′+′′yyy四、阶常系数齐次线性方程解法（10m）n0111=+′+++−−yPyPyPynnnnL)()(多媒体演示特征方程为0111=++++−−nnnnPrPrPrL特征方程的根通解中的对应项rk重根若是rxkkexCxCC)(1110−−+++Lβαjk±复根重共轭若是xkkkkexxDxDDxxCxCCαββ]sin)(cos)[(11101110−−−−+++++++LL-8-注意：n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个根都对应着通解中的一项,且每一项各一个任意常数.yCyCynnyC++=L2211+例4求方程的通解.、小结（10m）（请同学上讲台做题）022345=+′+′′+++yyyyyy)()()(四作业和思考题：作业：P340:1(2)(4)(5)思考题：求微分方程的通解.()yyyyyln22=′−′′课后小结：讲述方程的具体解法用讲授和讨论相结合的方法很好。-9-高等数学（II）课程教案授课时间第二周（周五）第3-4节课次4授课方式（请打√）理论课□√讨论课□实验课□习题课□其他□课时2安排授课题目（教学章、节或主题）：第七章第八节常系数非齐次的线性微分方程上一课次教学内容提要常系数齐次的线性微分方程本课次教学目的、要求（1）掌握非齐次的常系数线性微分方程特解的形式。（2）掌握常系数非齐次线性微分方程的解的结构。教学重点及难点：如何由非齐次微分方程右端的形式，给出特解的假定形式；待定系数法。)(xf教学基本内容与教学设计（含时间分配）方法及手段