《数学分析》-第十二章-数项级数-1

第十二章数项级数§1数项级数的收敛性一、问题的提出1.计算圆的面积R正六边形的面积正十二边形的面积1a21aa正形的面积n23naaa21naaaA21即n10310003100310331.2二、级数的概念1.级数的定义:nnnuuuuu3211(常数项)无穷级数一般项部分和数列niinnuuuus121级数的部分和,11us,212uus,,3213uuus,21nnuuus2.级数的收敛与发散:当n无限增大时,如果级数1nnu的部分和数列ns有极限s,即ssnnlim则称无穷级数1nnu收敛,这时极限s叫做级数1nnu的和.并写成321uuus如果ns没有极限,则称无穷级数1nnu发散.即常数项级数收敛(发散)nnslim存在(不存在)余项nnssr21nnuu1iinu即ssn误差为nr)0lim(nnr无穷级数收敛性举例：Koch雪花.做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形．如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形——“Koch雪花”．观察雪花分形过程第一次分叉：;913,3411212AAAPP面积为周长为依次类推;43,311AP面积为周长为设三角形播放,2,1)34(11nPPnn]})91[(4{31121AAAnnnn1121211)91(43)91(43913AAAAnn,3,2n周长为面积为]})94(31)94(31)94(3131[1{221nA第次分叉：n于是有nnPlim)941311(lim1AAnn.532)531(1A结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．雪花的面积存在极限（收敛）．例1讨论等比级数(几何级数)nnnaqaqaqaaq20)0(a的收敛性.解时如果1q12nnaqaqaqasqaqan1,11qaqqan,1时当q0limnnqqasnn1lim,1时当qnnqlimnnslim收敛发散时如果1q,1时当q,1时当qnasn发散aaaa级数变为不存在nnslim发散综上发散时当收敛时当,1,10qqaqnn例2判别无穷级数)12()12(1531311nn的收敛性.解)12)(12(1nnun),121121(21nn)12()12(1531311nnsn)121121(21)5131(21)311(21nn)1211(21limlimnsnnn),1211(21n,21.21,和为级数收敛三、基本性质性质1如果级数1nnu收敛,则1nnku亦收敛.性质2设两收敛级数1nnus,1nnv,则级数1)(nnnvu收敛,其和为s.结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.性质3若级数1nnu收敛,则1knnu也收敛)1(k.且其逆亦真.证明nkkkuuu21nkkknuuu21,kknssknknnnnsslimlimlim则.kss类似地可以证明在级数前面加上有限项不影响级数的敛散性.性质4收敛级数加括弧后所成的级数仍然收敛于原来的和.证明)()(54321uuuuu,21s.limlimssnnmm则,52s,93s,,nms注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.)11()11(例如1111推论如果加括弧后所成的级数发散,则原来级数也发散.收敛发散四、收敛的必要条件级数收敛.0limnnu证明1nnus,1nnnssu则1limlimlimnnnnnnssuss.0即趋于零它的一般项无限增大时当,,nun级数收敛的必要条件:注意1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;1)1(4332211nnn例如发散2.必要条件不充分.?,0lim但级数是否收敛有nnun131211例如调和级数讨论nnnssnn2121112,212nn.,s其和为假设调和级数收敛)lim(2nnnss于是ss,0.级数发散)(210n便有.这是不可能的)21221121()16110191()81716151()4131()211(1mmm8项4项2项2项项m221每项均大于21)1(1mm项大于即前.级数发散由性质4推论,调和级数发散.五、小结1.由定义,若ssn,则级数收敛;2.当0limnnu,则级数发散;3.按基本性质.常数项级数的基本概念基本审敛法思考题设1nnb与1nnc都收敛，且nnncab),2,1(n，能否推出1nna收敛？思考题解答能．由柯西审敛原理即知．一、填空题:1、若nnan242)12(31,则51nna=____________；2、若nnnna!,则51nna=______________________；3、若级数为642422xxxx则na_______；4、若级数为97535432aaaa则na________；5、若级数为615413211则当n_____时na_____；当n______时na________；6、等比级数0nnaq,当_____时收敛；当____时发散.练习题三、由定义判别级数)12)(12(1751531311nn的收敛性.四、判别下列级数的收敛性:1、n31916131；2、)3121()3121()3121()3121(3322nn；3、nn101212014110121.五、利用柯西收敛原理判别级数61514131211的敛散性.练习题答案一、1、1086429753186427531642531422121；2、543215!54!43!32!21!1；3、)2(6422nxn；4、12)1(11nann；5、kkkk21,2,12.12；6、1,1qq.三、收敛.四、1、发散；2、收敛；3、发散、[nkknks12)10121(].五、发散.[取np2]