《数学分析》第十三章-函数列与函数项级数-3

§2一致收敛函数列与函数项级数的性质一致收敛级数的基本性质定理1如果级数1)(nnxu的各项)(xun在区间[ba,]上都连续,且1)(nnxu在区间[ba,]上一致收敛于)(xs,则)(xs在[ba,]上也连续.证设xx,0为ba,上任意点．由)()()(),()()(000xrxsxsxrxsxsnnnn)()()()(00xrxrxsxsnnnn(1))()()()()()(000xrxrxsxsxsxsnnnn级数1)(nnxu一致收敛于)(xs，对0，必自然数)(NN，使得当Nn时,对ba,上的一切x都有3)(xrn(2).3)(0xrn同样有故)(xsn(Nn)在点0x连续，(3)0当0xx时总有3)()(0xsxsnn由(1)、(2)、(3)可见,对任给0，必有0，当0xx时，有.)()(0xsxs　)(xsn是有限项连续函数之和，所以)(xs在点0x处连续，　　　　　　　　　　　而0x在[ba,]上是任意的，因此)(xs在[ba,]上连续．定理2如果级数1)(nnxu的各项)(xun在区间[ba,]上都连续,且1)(nnxu在区间[ba,]上一致收敛于)(xs,则)(xs在[ba,]上可以逐项积分,即xxxxxxdxxudxxudxxs000)()()(21xxndxxu0)(其中bxxa0,并且上式右端的级数在[ba,]上也一致收敛.(4)证级数1)(nnxu在[ba,]一致收敛于)(xs,由定理1,)(xs，)(xrn都在[ba,]上连续，所以积分xxdxxs0)(，xxndxxr0)(存在,从而有xxnxxdxxsdxxs00)()(xxndxxr0)(.)(0xxndxxr又由级数的一致收敛性,对任给正数必有)(NN使得当Nn时,对[ba,]上的一切x,都有.)(abxrnxxnxxdxxsdxxs00)()(xxndxxr0)(.)(0xxqb根据极限定义，有nixxnnxxnnxxdxxudxxsdxxs1000)(lim)(lim)(即100)()(ixxixxdxxudxxs由于N只依赖于而于xx,0无关，所以级数10)(ixxidxxu在[ba,]上一致收敛.于是，当Nn时有定理3如果级数1)(nnxu在区间[ba,]上收敛于和)(xs，它的各项)(xun都具有连续导数)(xun，并且级数1)(nnxu在[ba,]上一致收敛，则级数1)(nnxu在[ba,]上也一致收敛，且可逐项求导，即)()()()(21xuxuxuxsn(5)注意:级数一致收敛并不能保证可以逐项求导.例如，级数22222sin22sin1sinnxnxx在任何区间],[ba上都是一致收敛的.逐项求导后得级数,cos2coscos22xnxx.,发散的都是所以对于任意值因其一般项不趋于零x所以原级数不可以逐项求导．定理4如果幂级数1nnnxa的收敛半径为0R,则其级数在),(RR内的任意闭区间[ba,]上一致收敛.进一步还可以证明，如果幂级数1nnnxa在收敛区间的端点收敛，则一致收敛的区间可扩大到包含端点．幂级数的一致收敛性定理5如果幂级数1nnnxa的收敛半径为0R，则其和函数)(xs在),(RR内可导，且有逐项求导公式111)(nnnnnnxnaxaxs,逐项求导后所得到的幂级数与原级数有相同的收敛半径．证在),(RR内任意取定x，在限定1x，使得Rxx1．记11xxq，则先证级数11nnnxna在),(RR内收敛．,1111111111nnnnnnnnxaxnqxaxxxnxna由比值审敛法可知级数11nnnq收敛，),(01nnqn于是故数列1nnq有界，必有0M，使得),2,1(111nMxnqn又Rx10，级数11nnnxa收敛，由比较审敛法即得级数11nnnxna收敛．由定理4，级数11nnnxna在),(RR内的任意闭区间[ba,]上一致连续，故幂级数1nnnxa在[ba,]上适合定理3条件，从而可以逐项求导．即得幂级数1nnnxa在),(RR内可逐项求导.设幂级数11nnnxna的收敛半径为R．,RR由[ba,]在),(RR内的任意性，将此幂级数11nnnxna在[x,0])(Rx上逐项积分即得,1nnnxa因逐项积分所得级数的收敛半径不会缩小，,RR所以.RR于是即11nnnxna与1nnnxa的收敛半径相同．