《数学分析》第十四章-幂级数-1

第十四章幂级数§1幂级数一、函数项级数的一般概念1.定义:设),(,),(),(21xuxuxun是定义在RI上的函数,则)()()()(211xuxuxuxunnn称为定义在区间I上的(函数项)无穷级数.,120xxxnn例如级数2.收敛点与收敛域:如果Ix0,数项级数10)(nnxu收敛,则称0x为级数)(1xunn的收敛点,否则称为发散点.所有发散点的全体称为发散域.函数项级数)(1xunn的所有收敛点的全体称为收敛域,)()(limxsxsnn函数项级数的部分和余项)()()(xsxsxrnn(x在收敛域上)0)(limxrnn注意函数项级数在某点x的收敛问题,实质上是数项级数的收敛问题.3.和函数:)()()()(21xuxuxuxsn在收敛域上,函数项级数的和是x的函数)(xs,称)(xs为函数项级数的和函数.(定义域是?)),(xsn例1求级数nnnxn)11()1(1的收敛域.解由达朗贝尔判别法)()(1xuxunnxnn111)(11nx,111)1(x当,20时或即xx原级数绝对收敛.,11x,111)2(x当,11x,02时即x原级数发散.,0时当x1)1(nnn级数收敛;,2时当x11nn级数发散;).,0[)2,(故级数的收敛域为,1|1|)3(x当,20xx或二、幂级数及其收敛性1.定义:形如nnnxxa)(00的级数称为幂级数.,,000nnnxax时当其中na为幂级数系数.2.收敛性:,120xxxnn例如级数;,1收敛时当x;,1发散时当x);1,1(收敛域);,1[]1,(发散域定理1(Abel定理)如果级数0nnnxa在)0(00xxx处收敛,则它在满足不等式0xx的一切x处绝对收敛;如果级数0nnnxa在0xx处发散,则它在满足不等式0xx的一切x处发散.证明,0lim0nnnxa,)1(00收敛nnnxa),2,1,0(0nMxann使得,Mnnnnnnxxxaxa00nnnxxxa00nxxM0,10时当xx,00收敛等比级数nnxxM,0收敛nnnxa;0收敛即级数nnnxa,)2(0时发散假设当xx而有一点1x适合01xx使级数收敛,则级数当0xx时应收敛,这与所设矛盾.由(1)结论xoRR几何说明收敛区域发散区域发散区域如果幂级数0nnnxa不是仅在0x一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛,则必有一个完全确定的正数R存在,它具有下列性质:当Rx时,幂级数绝对收敛;当Rx时,幂级数发散;当RxRx与时,幂级数可能收敛也可能发散.推论定义:正数R称为幂级数的收敛半径.幂级数的收敛域称为幂级数的收敛区间.,0R),,[RR],,(RR].,[RR规定,R收敛区间0x;收敛区间),(.问题如何求幂级数的收敛半径?),,(RR(1)幂级数只在0x处收敛,(2)幂级数对一切x都收敛,定理2如果幂级数0nnnxa的所有系数0na,设nnnaa1lim(或nnnalim)(1)则当0时,1R;(3)当时,0R.(2)当0时,R;证明应用达朗贝尔判别法对级数0nnnxannnnnxaxa11limxaannn1lim,x,)0(lim)1(1存在如果nnnaa由比值审敛法,,1||时当x,||0收敛级数nnnxa.0收敛绝对从而级数nnnxa,1||时当x,||0发散级数nnnxa开始并且从某个n|,|||11nnnnxaxa0||nnxa.0nnnxa发散从而级数;1R收敛半径,0)2(如果,0x),(011nxaxannnn有,||0收敛级数nnnxa.0收敛绝对从而级数nnnxa;R收敛半径,)3(如果,0x.0nnnxa必发散级数)||01(0收敛使知将有点否则由定理nnnxax.0R收敛半径定理证毕.例2求下列幂级数的收敛区间:解)1(nnnaa1lim1limnnn11R,1时当x,1时当x,)1(1nnn级数为,11nn级数为该级数收敛该级数发散;)1()1(1nxnnn;)()2(1nnnx;!)3(1nnnx.)21(2)1()4(1nnnnxn故收敛区间是]1,1(.nnnalimnnlim,,R级数只在0x处收敛,nnnaa1lim11limnn,0,0R收敛区间),(.;)()2(1nnnx;!)3(1nnnxnnnaa1lim12limnnn2,21R,2121收敛即x,)1,0(收敛x.)21(2)1()4(1nnnnxn,0时当x,11nn级数为,1时当x,)1(1nnn级数为发散收敛故收敛区间为(0,1].例3求幂级数1122nnnx的收敛区间.解3523222xxx级数为缺少偶次幂的项应用达朗贝尔判别法)()(lim1xuxunnnnnnnnxx22lim12112,212x级数收敛,,1212x当,2时即x,1212x当,2时即x级数发散,,2时当x,211n级数为,2时当x,211n级数为级数发散,级数发散,原级数的收敛区间为).2,2(三、幂级数的运算1.代数运算性质:(1)加减法00nnnnnnxbxa.0nnnxc(其中21,minRRR)nnnbacRRx,,2100RRxbxannnnnn和的收敛半径各为和设(2)乘法)()(00nnnnnnxbxa.0nnnxcRRx,(其中)0110bababacnnnn00ba10ba20ba30ba01ba11ba21ba31ba02ba12ba22ba32ba03ba13ba23ba33ba柯西乘积321xxx(3)除法00nnnnnnxbxa.0nnnxc)0(0nnnxb收敛域内(相除后的收敛区间比原来两级数的收敛区间小得多)2.和函数的分析运算性质:(1)幂级数0nnnxa的和函数)(xs在收敛区间),(RR内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续.(2)幂级数0nnnxa的和函数)(xs在收敛区间),(RR内可积,且对),(RRx可逐项积分.xnnnxdxxadxxs000)()(即00nxnndxxa.110nnnxna(收敛半径不变)(3)幂级数0nnnxa的和函数)(xs在收敛区间),(RR内可导,并可逐项求导任意次.0)()(nnnxaxs即0)(nnnxa.11nnnxna(收敛半径不变)例4求级数11)1(nnnnx的和函数.解,)1()(11nnnnxxs,0)0(s显然两边积分得)1ln()(0xdttsx21)(xxxs,11x)11(x,1时又x.1)1(11收敛nnn).1ln()1(11xnxnnn)11(x),1ln()(xxs)1ln()0()(xsxs即例5求12)1(nnnn的和.解,)1(1nnxnn考虑级数收敛区间(-1,1),1)1()(nnxnnxs则)(11nnxx)1(2xxx,)1(23xx12)1(nnnn故)21(s.8常用已知和函数的幂级数;11)1(0xxnn;11)1()2(202xxnnn;1)3(202xaaxnn;!)4(0xnnenx);1ln(1)1()6(01xnxnnn;sin)!12()1()5(1121xnxnnn四、小结2.幂级数的收敛性:收敛半径R3.幂级数的运算:分析运算性质1.函数项级数的概念:思考题幂级数逐项求导后，收敛半径不变，那么它的收敛域是否也不变？思考题解答不一定.例,)(12nnnxxf,)(11nnnxxf,)1()(22nnnxnxf它们的收敛半径都是1,但它们的收敛域各是)1,1(),1,1[],1,1[一、求下列幂级数的收敛区间:1、)2(424222nxxxn；2、nnxnxx125222222；3、122212nnnxn；4、)0,0(1babaxnnnn.练习题二、利用逐项求导或逐项积分,求下列级数的和函数:1、11nnnx；2、12531253nxxxxn.练习题答案一、1、),(；2、]21,21[；3、)2,2(；4、),(cc,其中0,maxbac.二、1、)11()1(12xx；2、)11(11ln21xxx.