《数学分析》第十五章-傅立叶级数-2

第十五章傅立叶级数§2正弦级数与余弦级数一、奇函数和偶函数的傅里叶级数(1)当周期为2的奇函数)(xf展开成傅里叶级数时,它的傅里叶系数为),2,1(sin)(2),2,1,0(00nnxdxxfbnann定理一般说来,一个函数的傅里叶级数既含有正弦项,又含有余弦项.但是,也有一些函数的傅里叶级数只含有正弦项或者只含有常数项和余弦项.(2)当周期为2的偶函数)(xf展开成傅里叶级数时,它的傅里叶系数为),2,1(0),2,1,0(cos)(20nbnnxdxxfann证明,)()1(是奇函数设xfnxdxxfancos)(10),3,2,1,0(n奇函数0sin)(2nxdxxf),3,2,1(n同理可证(2)定义如果)(xf为奇函数,傅氏级数nxbnnsin1称为正弦级数.如果)(xf为偶函数,傅氏级数nxaanncos210称为余弦级数.nxdxxfbnsin)(1偶函数定理证毕.例1设)(xf是周期为2的周期函数,它在),[上的表达式为xxf)(,将)(xf展开成傅氏级数.解所给函数满足狄利克雷充分条件.,),2,1,0()12(处不连续在点kkx2)0()0(ff收敛于2)(,0),())12((xfkxx处收敛于在连续点2233xy0,2)()12(为周期的奇函数是以时xfkx和函数图象),2,1,0(,0nan0sin)(2nxdxxfbn0sin2nxdxx02]sincos[2nnxnnxxnncos2,)1(21nn),2,1(n)3sin312sin21(sin2)(xxxxf.sin)1(211nnnxn),3,;(xx)5sin514sin413sin312sin21(sin2xxxxxyxy观察两函数图形例2将周期函数tEtusin)(展开成傅氏级数,其中E是正常数.解所给函数满足狄利克雷充分条件,在整个数轴上连续.,)(为偶函数tu,0nb00)(2dttuat)(tu022E0sin2tdtE,4E),2,1(n0cos)(2ntdttuan0cossin2ntdttE0])1sin()1[sin(dttntnE12,02,]1)2[(42knknkE当当),2,1(k01)1cos(1)1cos(ntnntnE)1(n01cos)(2tdttua0cossin2tdttE,0)6cos3514cos1512cos3121(4)(tttEtu)(t].142cos21[212nnnxE二、函数展开成正弦级数或余弦级数非周期函数的周期性开拓).(2,],0[)(xFxf函数为周期的延拓成以上定义在设,0)(0)()(xxgxxfxF令),()2(xFxF且则有如下两种情况.偶延拓奇延拓奇延拓:)()(xfxg0)(000)()(xxfxxxfxF则xy0的傅氏正弦级数)(xf1sin)(nnnxbxf)0(x偶延拓:)()(xfxg0)(0)()(xxfxxfxF则的傅氏余弦级数)(xf10cos2)(nnnxaaxf)0(xxy0例3将函数)0(1)(xxxf分别展开成正弦级数和余弦级数.解(1)求正弦级数.,)(进行奇延拓对xf0sin)(2nxdxxfbn0sin)1(2nxdxx)coscos1(2nnn,6,4,22,5,3,122nnnn当当]3sin)2(312sin2sin)2[(21xxxx)0(x]5sin)2(514sin43sin)2(312sin2sin)2[(2xxxxxy1xy(2)求余弦级数.,)(进行偶延拓对xf00)1(2dxxa,20cos)1(2nxdxxan)1(cos22nn,5,3,14,6,4,202nnn当当]5cos513cos31(cos412122xxxx)0(x1xy)7cos715cos513cos31(cos412222xxxxy三、小结1、基本内容:奇函数和偶函数的傅氏系数;正弦级数与余弦级数;非周期函数的周期性延拓;2、需澄清的几个问题.(误认为以下三情况正确)a.只有周期函数才能展成傅氏级数;;2,],0[.的傅氏级数唯一展成周期为上在b).(,],[.xfc级数处处收敛于值点时上连续且只有有限个极在思考题.],[)()(,,,],[)(定义的函数上成为才能使应如何选择上定义的函数是在设BAtftFBAbaxf思考题解答,,)(bBAaBA应使.2,2abBabA即一、设)(xf是周期为2的周期函数,它在),[上的表达式为xxxxxf2,222,2,2)(.二、将函数)0(2)(2xxxf分别展开成正弦级数和余弦级数.练习题三、将以2为周期的函数2)(xxf在),(内展开成傅里叶级数,并求级数01121)1(nnn的和.四、证明:当x0时,1222624cosnxxnnx.一、nxnnnxfnnsin]2sin2)1([)(121.),2,1,0,)12((nnx二、nxnnnxfnsin]2)2()1[(4)(323)0(x；)0(cos)1(832)(122xnxnxfnn.三、),(sin1)1(211xnxnxnn；4.练习题答案