《数学分析》第十五章-傅立叶级数-4

第十五章傅立叶级数习题课,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos,1nxnxxxxx.],[上的积分等于零任意两个不同函数在正交性,0cosnxdx,0sinnxdx三角函数系),2,1(n其中傅里叶级数nmnmnxdxmx,,0sinsinnmnmnxdxmx,,0coscos0cossinnxdxmx),2,1,(nm其中(2)傅里叶级数10)sincos(2nnnnxbnxaa定义三角级数其中),2,1(,sin)(1),2,1,0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann称为傅里叶级数.10)sincos(2nnnnxbnxaa(3)狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)设)(xf是以2为周期的周期函数.如果它满足条件:在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,并且至多只有有限个极值点,则)(xf的傅里叶级数收敛,并且(1)当x是)(xf的连续点时,级数收敛于)(xf;(2)当x是)(xf的间断点时,收敛于2)0()0(xfxf;(3)当x为端点x时,收敛于2)0()0(ff.如果)(xf为奇函数,傅氏级数nxbnnsin1称为正弦级数.(4)正弦级数与余弦级数当周期为2的奇函数)(xf展开成傅里叶级数时,它的傅里叶系数为),2,1(sin)(2),2,1,0(00nnxdxxfbnann当周期为2的偶函数)(xf展开成傅里叶级数时,它的傅里叶系数为),2,1(0),2,1,0(cos)(20nbnnxdxxfann如果)(xf为偶函数,傅氏级数nxaanncos210称为余弦级数.奇延拓:0)(000)()(xxfxxxfxF令的傅氏正弦级数)(xf.sin)(1nnnxbxf)0(x(5)周期的延拓式为则它的傅里叶级数展开的条件满足收敛定理的周期函数设周期为,)(2xfl),sincos(2)(10lxnblxnaaxfnnn式的周期函数的傅氏展开周期为l2)6(),2,1,0(,cos)(1ndxlxnxflalln),2,1(,sin)(1ndxlxnxflblln偶延拓:0)(0)()(xxfxxfxF令的傅氏余弦级数)(xf10cos2)(nnnxaaxf)0(x形．函数，同时画出它的图写出该级数的和的正弦级数并在为周期内展开成以在将2220cosxxx例1解,cos),(,sincos2),0(cos)(1进行奇开拓内对必须在周期的正弦级数为内展开成以在要将xnxbxxxfnn),0,(cos,00),,0(cos)(xxxxxxF令0sincos2nxdxxbn0])1sin()1[sin(1dxxnxn]1)1(11)1(1[111nnnnmnnnmno2,)1(412,2)1(n,0na),2,1,0(n012sin1xdxb,012)0(.2sin)14(8cosmxmxmmx上级数的和函数为在22x),2,()0,(cos2,,00),2(),0(,cos)(xxxxxxs和函数的图形为xyo22的和．由此求级数为周期的付氏级数，并以内展开成将函数1212)11(2)(nnxxxf例2解,)11(2)(是偶函数xxxf100)2(12dxxa,5101cos)2(12dxxnxan10cos2xdxnx10sin2xnxdn]1)1[(222nn,0x取由上式得122,)12(14252kk122,8)12(1kk121212)2(1)12(11kknkkn而,141)12(11212kkkk3481212nn.6212,42,022knnkn),2,1(k,0nb122)12cos()12(4252kxkkx故122.)12()12cos(425kkxk)11(x),2,1(n．时，０当证明：624cos2212xxnnxxn例3解,24)(2xxxf设上展开成余弦级数：［在将],0)(xf020)24(2dxxxa)412(233,3302cos)24(2nxdxxxan]sin)22(sin)24[(2002nxdxxnxxxnnxdxncos)22(202222n.12n)0(cos6241222xnnxxxn．．故624cos2212xxnnxn测试题一、设)(xf是周期为2的函数,它在],[上的表达式为),0[,)0,[,0)(xexxfx将)(xf展开成傅立叶级数.二、函数xhhxxf,00,1)(分别展开成正弦级数和余弦级数.三、证明:如果)(),()(xfxfxf以为周期2,则)(xf的傅立叶系数00a,),2,1(0,022kbakk.测试题答案一、nxneexfnncos11)1([121)(12]sin1)1)1((21nxnenn,(,2,1,0,nnxx且).二、),(),0(,sincos12)(1hhxnxnnhxfn),(),0[,cossin2)(1hhxnxnnhhxfn.