《数学分析》-第十六章-多元函数的极限与连续-1

第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数设),(000yxP是xoy平面上的一个点，是某一正数，与点),(000yxP距离小于的点),(yxP的全体，称为点0P的邻域，记为),(0PU，0P),(0PU||0PPP.)()(|),(2020yyxxyx（2）区域.)(的内点为则称，的某一邻域一个点．如果存在点是平面上的是平面上的一个点集，设EPEPUPPE.EE的内点属于EP.为开集则称的点都是内点，如果点集EE}41),{(221yxyxE例如，即为开集．的边界点．为），则称可以不属于，也本身可以属于的点（点也有不属于的点，于的任一个邻域内既有属如果点EPEEPEEPEP的边界．的边界点的全体称为EE是连通的．开集，则称且该折线上的点都属于连结起来，任何两点，都可用折线内是开集．如果对于设DDDD连通的开集称为区域或开区域．}.41|),{(22yxyx例如，xyo开区域连同它的边界一起称为闭区域.}.41|),{(22yxyx例如，xyo}0|),{(yxyx有界闭区域；无界开区域．xyo例如，则称为无界点集．为有界点集，否成立，则称对一切即，不超过间的距离与某一定点，使一切点如果存在正数对于点集EEPKAPKAPAEPKE}41|),{(22yxyx（3）聚点设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点，如果点P的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集E，则称P为E的聚点.内点一定是聚点；说明：边界点可能是聚点；}10|),{(22yxyx例(0,0)既是边界点也是聚点．点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．}10|),{(22yxyx例如,(0,0)是聚点但不属于集合．}1|),{(22yxyx例如,边界上的点都是聚点也都属于集合．（4）n维空间设n为取定的一个自然数，我们称n元数组),,,(21nxxx的全体为n维空间，而每个n元数组),,,(21nxxx称为n维空间中的一个点，数ix称为该点的第i个坐标.n维空间的记号为说明：;nRn维空间中两点间距离公式),,,,(21nxxxP),,,,(21nyyyQ.)()()(||2222211nnxyxyxyPQn维空间中邻域、区域等概念nRPPPPPU,||),(00特殊地当时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．3,2,1n内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．邻域：设两点为设D是平面上的一个点集，如果对于每个点DyxP),(，变量z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称z是变量yx,的二元函数，记为),(yxfz（或记为)(Pfz）.（5）二元函数的定义当2n时，n元函数统称为多元函数.多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念.类似地可定义三元及三元以上函数．例1求的定义域．222)3arcsin(),(yxyxyxf解013222yxyx22242yxyx所求定义域为}.,42|),{(222yxyxyxD（6）二元函数的图形),(yxfz设函数),(yxfz的定义域为D，对于任意取定的DyxP),(，对应的函数值为),(yxfz，这样，以x为横坐标、y为纵坐标、z为竖坐标在空间就确定一点),,(zyxM，当x取遍D上一切点时，得一个空间点集}),(),,(|),,{(Dyxyxfzzyx，这个点集称为二元函数的图形.（如下页图）二元函数的图形通常是一张曲面.xyzoxyzsin例如,图形如右图.2222azyx例如,左图球面.}.),{(222ayxyxD222yxaz.222yxaz单值分支: