《数学分析》-第十六章-多元函数的极限与连续-2

§2二元函数的极限定义1设函数),(yxfz的定义域为),(,000yxPD是其聚点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式20200)()(||0yyxxPP的一切点，都有|),(|Ayxf成立，则称A为函数),(yxfz当0xx，0yy时的极限，记为Ayxfyyxx),(lim00（或)0(),(Ayxf这里||0PP）.二元函数的极限的概念说明：（1）定义中的方式是任意的；0PP（2）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似．例2求证证01sin)(lim222200yxyxyx01sin)(2222yxyx22221sinyxyx22yx,0,当时，22)0()0(0yx01sin)(2222yxyx原结论成立．例3求极限.)sin(lim22200yxyxyx解22200)sin(limyxyxyx,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0,1222yxyxx21,00x.0)sin(lim22200yxyxyxyxu2例4证明不存在．证26300limyxyxyx取,3kxy26300limyxyxyx6263303limxkxkxxkxyx,12kk其值随k的不同而变化，故极限不存在．不存在.观察26300limyxyxyx,263图形yxyxz播放（1）令),(yxP沿kxy趋向于),(000yxP，若极限值与k有关，则可断言极限不存在；（2）找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，但两者不相等，此时也可断言),(yxf在点),(000yxP处极限不存在．确定极限不存在的方法：定义2设n元函数)(Pf的定义域为点集0,PD是其聚点，如果对于任意给定的正数，总存在正数，使得对于适合不等式||00PP的一切点DP，都有|)(|APf成立，则称A为n元函数)(Pf当0PP时的极限，记为APfPP)(lim0.n元函数的极限利用点函数的形式有多元函数极限的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的任意性）小结多元函数的定义若点),(yx沿着无数多条平面曲线趋向于点),(00yx时，函数),(yxf都趋向于A，能否断定Ayxfyxyx),(lim),(),(00？思考题思考题解答不能.例,)(),(24223yxyxyxf)0,0(),(yx取,kxy2442223)(),(xkxxkxkxxf00x但是不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx原因为若取,2yx244262)(),(yyyyyyf.41一、填空题:1、若yxxyyxyxftan),(22,则),(tytxf=____.2、若xyyxyxf2),(22,则)3,2(f__________;),1(xyf________________.3、若)0()(22yyyxxyf,则)(xf________.4、若22),(yxxyyxf,则),(yxf_________.函数)1ln(4222yxyxz的定义域是__________.练习题6、函数yxz的定义域是______________.7、函数xyzarcsin的定义域是_______________.8、函数xyxyz2222的间断点是________________.二、求下列各极限:1、xyxyyx42lim00；2、xxyyxsinlim00；3、22222200)()cos(1limyxyxyxyx.三、证明：0lim2200yxxyyx.四、证明极限yxxyyx11lim00不存在.一、1、),(2yxft；2、1213,),(yxf；3、xx21；4、yyx112；5、xyyxyx4,10),(222；6、yxyxyx2,0,0),(；7、xyxxyx,0),(xyxxyx,0),(；8、02),(2xyyx.二、1、41；2、0；3、.练习题答案