《数学分析》第二十一章-二重积分-2

第二节化重积分为累次积分如果积分区域为：,bxa).()(21xyx其中函数、在区间上连续.)(1x)(2x],[ba一、利用直角坐标系计算二重积分［X－型］)(2xyabD)(1xyDba)(2xy)(1xy为曲顶柱体的体积．为底，以曲面的值等于以),(),(yxfzDdyxfD应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,a0xbzyx)(0xA),(yxfz)(1xy)(2xy.),(),()()(21Dbaxxdyyxfdxdyxf得.),(),()()(21Ddcyydxyxfdydyxf如果积分区域为：,dyc).()(21yxy［Y－型］)(2yx)(1yxDcdcd)(2yx)(1yxDX型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别使用积分公式.321DDDD则必须分割.xy1例1改变积分xdyyxfdx1010),(的次序.原式ydxyxfdy1010),(.解积分区域如图xy222xxy例2改变积分xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2的次序.原式102112),(yydxyxfdy.解积分区域如图例3改变积分)0(),(20222adyyxfdxaaxxax的次序.axy2解=ayaaaydxyxfdy02222),(原式aayaadxyxfdy0222),(.),(2222aaaaydxyxfdy22xaxy22yaaxa2aa2a例4求Ddxdyyx)(2，其中D是由抛物线2xy和2yx所围平面闭区域.解两曲线的交点),1,1(,)0,0(22yxxyDdxdyyx)(21022)(xxdyyxdxdxxxxxx)](21)([42102.140332xy2yx2xy2yx例5求Dydxdyex22，其中D是以),1,1(),0,0()1,0(为顶点的三角形.dyey2无法用初等函数表示解积分时必须考虑次序Dydxdyex22yydxexdy02102dyyey10332210262dyyey).21(61e例6计算积分yxydxedyI212141yyxydxedy121.解dxexy不能用初等函数表示先改变积分次序.原式xxxydyedxI2211121)(dxeexx.2183ee2xyxy例7求由下列曲面所围成的立体体积，yxz，xyz，1yx，0x，0y.解曲面围成的立体如图.,10yx,xyyx所求体积DdxyyxV)(1010)(xdyxyyxdx103])1(21)1([dxxxx.247所围立体在xoy面上的投影是二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）二、小结.),(),()()(21Dbaxxdyyxfdxdyxf.),(),()()(21Ddcyydxyxfdydyxf［Y－型］［X－型］设)(xf在]1,0[上连续，并设Adxxf10)(，求110)()(xdyyfxfdx.思考题1)(xdyyf不能直接积出,改变积分次序.令110)()(xdyyfxfdxI,思考题解答则原式ydxyfxfdy010)()(.,)()(010xdyyfdxxf故110)()(2xdyyfdxxfIxdyyfdxxf010)()(])()[()(1010dyyfdxxfxx.)()(21010Adyyfdxxf一、填空题:1、Ddyyxx)3(323________________.其中.10,10:yxD2、Ddyxx)cos(_______________.其中D是顶点分别为)0,0(，)0,(，),(的三角形闭区域.3、将二重积分Ddyxf),(,其中D是由x轴及半圆周)0(222yryx所围成的闭区域,化为先对y后对x的二次积分,应为_____________________.练习题4、将二重积分Ddyxf),(,其中D是由直线2,xxy及双曲线)0(1xxy所围成的闭区域,化为先对x后对y的二次积分,应为__________________________.5、将二次积分22221),(xxxdyyxfdx改换积分次序,应为_________________________.6、将二次积分xxdyyxfdxsin2sin0),(改换积分次序,应为_________________________.7、将二次积分2ln1),(2yedxyxfdy2)1(2112),(ydxyxfdy改换积分次序,应为__________________________.二、画出积分区域,并计算下列二重积分:1、Dyxde,其中D是由1yx所确定的闭区域.2、Ddxyx)(22其中D是由直线xyxyy2,2及所围成的闭区域.3、xDdyyxxydxdyxf020))(2(cos),(。4、,2Ddxdyxy其中D:20,11yx.三、设平面薄片所占的闭区域D由直线,2yxxy和x轴所围成,它的面密度22),(yxyx,求该薄片的质量.四、求由曲面222yxz及2226yxz,所围成的立体的体积.一、1、1；2、23；3、220),(xrrrdyyxfdx；4、22121121),(),(yydxyxfdydxyxfdy；5、211210),(yydxyxfdy；6、yyydxyxfdydxyxfdyarcsinarcsin10arcsin201),(),(；7、21120),(xexdyyxfdx.练习题答案二、1、1ee；2、613；3、；4、235.三、34.四、6.