《数学分析》第二十章-曲线积分-1

第二十章曲线积分§2第一型曲线积分一、问题的提出实例:曲线形构件的质量oxyAB1nMiM1iM2M1M),(iiL.sM匀质之质量分割,,,,121insMMM,),(iiis取.),(iiiisM求和.),(1niiiisM取极限.),(lim10niiiisM近似值精确值二、对弧长的曲线积分的概念,),(,),(,),(,.,,,.),(,1121niiiiiiiiiinsfsfisinLMMMLLyxfxoyL并作和作乘积点个小段上任意取定的一为第又个小段的长度为设第个小段分成把上的点用上有界在函数面内一条光滑曲线弧为设1.定义oxyAB1nMiM1iM2M1M),(iiL.),(lim),(,),(,),(,,010niiiiLLsfdsyxfdsyxfLyxf即记作线积分第一类曲上对弧长的曲线积分或在曲线弧则称此极限为函数这和的极限存在时长度的最大值如果当各小弧段的被积函数积分弧段积分和式曲线形构件的质量.),(LdsyxM2.存在条件：.),(,),(存在对弧长的曲线积分上连续时在光滑曲线弧当LdsyxfLyxf3.推广曲线积分为上对弧长的在空间曲线弧函数),,(zyxf.),,(lim),,(10iniiiisfdszyxf注意：)(,)(.121LLLL是分段光滑的或若.),(),(),(2121LLLLdsyxfdsyxfdsyxf.),(),(.2LdsyxfLyxf曲线积分记为上对弧长的在闭曲线函数4.性质.),(),()],(),([)1(LLLdsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(为常数kdsyxfkdsyxkfLL.),(),(),()3(21LLLdsyxfdsyxfdsyxf).(21LLL三、对弧长曲线积分的计算定理)()()()](),([),(,],[)(),()(),(),(,),(22dtttttfdsyxfttttytxLLyxfL且上具有一阶连续导数在其中的参数方程为上有定义且连续在曲线弧设注意:;.1一定要小于上限定积分的下限.,,),(.2而是相互有关的不彼此独立中yxyxf特殊情形.)(:)1(bxaxyL.)(1)](,[),(2dxxxxfdsyxfbaL)(ba推广:)().(),(),(:ttztytx)()()()()](),(),([),,(222dtttttttfdszyxf.)(:)2(dycyxL.)(1]),([),(2dyyyyfdsyxfdcL)(dc例1).(,sin,cos:,象限第椭圆求tbytaxLxydsIL解dttbtatbtaI2220)cos()sin(sincosdttbtattab222220cossincossinabduubaab222)cossin(2222tbtau令.)(3)(22bababaab例2.)2,1()2,1(,4:,2一段到从其中求xyLydsIL解dyyyI222)2(1.0例3)20(.,sin,cos:,的一段其中求kzayaxxyzdsI解.21222kakaxy42dkaka222sincos20I例4.0,,22222zyxazyxdsxI为圆周其中求解由对称性,知.222dszdsydsxdszyxI)(31222故dsa32.323a),2(球面大圆周长dsa四、几何与物理意义,),()1(的线密度时表示当Lyx;),(LdsyxM;,1),()2(LdsLyxf弧长时当,),(),()3(处的高时柱面在点上的表示立于当yxLyxf.),(LdsyxfS柱面面积sL),(yxfz,)4(轴的转动惯量轴及曲线弧对yx.,22LyLxdsyIdsxI曲线弧的重心坐标)5(.,LLLLdsdsyydsdsxx五、小结1、对弧长曲线积分的概念2、对弧长曲线积分的计算3、对弧长曲线积分的应用思考题对弧长的曲线积分的定义中的符号可能为负吗？iS思考题解答iS的符号永远为正，它表示弧段的长度.一、填空题:1、已知曲线形构件L的线密度为),(yx,则L的质量M=_______________；2、Lds=_______________；3、对________的曲线积分与曲线的方向无关；4、Ldsyxf),(=dtttttf)()()](),([22中要求________.二、计算下列求弧长的曲线积分:1、Lyxdse22,其中L为圆周222ayx,直线xy及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；练习题2、yzdsx2,其中L为折线ABCD,这里DCBA,,,依次为点(0,0,0),(0,0,2),(1,0,2),(1,3,2)；3、Ldsyx)(22,其中L为曲线)cos(sin)sin(costttaytttax)20(t；4、计算Ldsy,其中L为双纽线)0()()(222222ayxayx.三、设螺旋形弹簧一圈的方程为taxcos,taysin,ktz,其中20t,它的线密度222),,(zyxzyx,求:1、它关于Z轴的转动ZI惯量；2、它的重心.练习题答案一、1、Ldsyx),(；2、的弧长L；3、弧长；4、.二、1、2)42(aea；2、9；3、)21(2232a；4、)22(22a.三、)43(32222222kakaaIz；2222436kaakx；2222436kaaky；22222243)2(3kakakz.