《数学分析》第二十一章-二重积分-3

第二十一章重积分§3格林公式及其应用1一、区域连通性的分类设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD设空间区域G,如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G,则称G是空间二维单连通域;如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面,则称G为空间一维单连通区域.GGG一维单连通二维单连通一维单连通二维不连通一维不连通二维单连通设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数),(),(yxQyxP及在D上具有一阶连续偏导数,则有LDQdyPdxdxdyyPxQ)((1)其中L是D的取正向的边界曲线,公式(1)叫做格林公式.二、格林公式定理1连成与由21LLL组成与由21LLL边界曲线L的正向:当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边.2LD1L2L1LD}),()(),{(21bxaxyxyxD证明(1)若区域D既是X型又是Y型,即平行于坐标轴的直线和L至多交于两点.}),()(),{(21dycyxyyxDyxoabDcd)(1xy)(2xyABCE)(2yx)(1yxdxxQdydxdyxQyydcD)()(21dcdcdyyyQdyyyQ)),(()),((12CAECBEdyyxQdyyxQ),(),(EACCBEdyyxQdyyxQ),(),(LdyyxQ),(同理可证LDdxyxPdxdyyP),(yxod)(2yxDcCE)(1yx若区域D由按段光滑的闭曲线围成.如图,证明(2)L1L2L3LD1D2D3D两式相加得LDQdyPdxdxdyyPxQ)(将D分成三个既是X型又是Y型的区域1D,2D,3D.321)()(DDDDdxdyyPxQdxdyyPxQ321)()()(DDDdxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ321LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLQdyPdx1D2D3DL1L2L3L),(32,1来说为正方向对DLLLGD3L2LFCE1LAB证明(3)若区域不止由一条闭曲线所围成.添加直线段AB,CE.则D的边界曲线由AB,2L,BA,AFC,CE,3L,EC及CGA构成.由(2)知DdxdyyPxQ)(CEAFCBALAB2{CGAECLQdyPdx)(}3LQdyPdx231))((LLLQdyPdx),(32,1来说为正方向对DLLL便于记忆形式:LDQdyPdxdxdyQPyx.格林公式的实质:沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系.xyoL例1计算ABxdy,其中曲线AB是半径为r的圆在第一象限部分.解引入辅助曲线L,1.简化曲线积分三、简单应用ABDBOABOAL应用格林公式,xQP,0有LDxdydxdy,BOABOAxdyxdyxdy,0,0BOOAxdyxdy由于.412rdxdyxdyDAB例2计算Dydxdye2,其中D是以)1,0(),1,1(),0,0(BAO为顶点的三角形闭区域.解令2,0yxeQP,2.简化二重积分xyoAB11D则2yeyPxQ,应用格林公式,有BOABOAyDydyxedxdye221022dxxedyxexOAy).1(211e例3计算Lyxydxxdy22,其中L为一条无重点,分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向.则当022yx时,有yPyxxyxQ22222)(.记L所围成的闭区域为D,解令2222,yxxQyxyP,L(1)当D)0,0(时,(2)当D)0,0(时,1DrlxyoLD由格林公式知Lyxydxxdy022作位于D内圆周222:ryxl,记1D由L和l所围成,应用格林公式,得yxolLyxydxxdyyxydxxdy2222xyor1DlL02222lLyxydxxdyyxydxxdy(其中l的方向取逆时针方向).2(注意格林公式的条件)drrr22222sincos20格林公式:LDQdyPdxdxdyyPxQ)(取,,xQyP得LDydxxdydxdy2闭区域D的面积LydxxdyA21.取,,0xQP得LxdyA取,0,QyP得LydxA3.计算平面面积曲线AMO由函数],0[,axxaxy表示,例4计算抛物线)0()(2aaxyx与x轴所围成的面积.解ONA为直线0y.LydxxdyA21AMOONAydxxdyydxxdy2121)0,(aANMAMOydxxdy21dxxaxdxaxaxa)()12(210.61420adxxaa)0,(aANM四、小结1.连通区域的概念;2.二重积分与曲线积分的关系3.格林公式的应用.——格林公式;LDQdyPdxdxdyyPxQ)(若区域如图为复连通域，试描述格林公式中曲线积分中L的方向。LDQdyPdxdxdyyPxQoxyABCDEFG思考题思考题解答oxyABCDEFG由两部分组成L外边界：内边界：BCDABEGFE