《数学分析》第二十一章-二重积分-4

§3格林公式及其应用1Gyxo1LQdyPdx则称曲线积分LQdyPdx在G内与路径无关,一、曲线积分与路径无关的定义2LQdyPdx1L2LBA如果在区域G内有否则与路径有关.二、曲线积分与路径无关的条件设开区域G是一个单连通域,函数),(),,(yxQyxP在G内具有一阶连续偏导数,则曲线积分LQdyPdx在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）的充要条件是xQyP在G内恒成立.定理2(1)开区域G是一个单连通域.(2)函数),(),,(yxQyxP在G内具有一阶连续偏导数.两条件缺一不可有关定理的说明：三、二元函数的全微分求积设开区域G是一个单连通域,函数),(),,(yxQyxP在G内具有一阶连续偏导数,则dyyxQdxyxP),(),(在G内为某一函数),(yxu的全微分的充要条件是等式xQyP在G内恒成立.定理3xQyP若),(),(1100yxByxAQdyPdx则dyyxQdxyxPyyxx),(),(101010),(01yxC),(11yxBxyo),(00yxAdxyxPdyyxQxxyy),(),(101010或例1计算Ldyyxdxxyx)()2(422.其中L为由点)0,0(O到点)1,1(B的曲线弧2sinxy.xxyxyyP2)2(2xyxxxQ2)(42解xQyP，原积分与路径无关故原式101042)1(dyydxx.1523例2设曲线积分Ldyxydxxy)(2与路径无关,其中具有连续的导数,且0)0(,计算)1,1()0,0(2)(dyxydxxy.积分与路径无关xQyP，解,2)(2xyxyyyP),()]([xyxyxxQ,),(2xyyxP),(),(xyyxQ由0)0(，知0c2)(xx.故)1,1()0,0(2)(dyxydxxy由xyxy2)(cxx2)(10100ydydx.21四、小结与路径无关的四个等价命题条件在单连通开区域D上),(),,(yxQyxP具有连续的一阶偏导数,则以下四个命题成立.LQdyPdxD与路径无关内在)1(CDCQdyPdx闭曲线,0)2(QdyPdxduyxUD使内存在在),()3(xQyPD,)4(内在等价命题一、填空题:1、设闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数),(,),(yxQyxP及在D上具有一阶连续偏导数,则有DdxdyyPxQ)(________________；2、设D为平面上的一个单连通域,函数),(,),(yxQyxP在D内有一阶连续偏导数,则LQdyPdx在D内与路径无关的充要条件是_______________在D内处处成立；3、设D为由分段光滑的曲线L所围成的闭区域,其面积为5,又),(yxP及),(yxQ在D上有一阶连续偏导数,且1xQ,1yP,则LQdyPdx___.练习题二、计算Ldyyxdxxxy)()2(22其中L是由抛物线2xy和xy2所围成的区域的正向边界曲线,并验证格林公式的正确性.三、利用曲线积分,求星形线taytax33sin,cos所围成的图形的面积.四、证明曲线积分)4,3()2,1(2232)36()6(dyxyyxdxyxy在整个xoy面内与路径无关,并计算积分值.五、利用格林公式,计算下列曲线积分:1、Ldyyxdxyx)sin()(22其中L是在圆周22xxy上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧；2、求曲线积分AMBdyyxdxyxI221)()(和ANBdyyxdxyxI222)()(的差.其中AMB是过原点和)1,1(A,)6,2(B且其对称轴垂直于x轴的抛物线上的弧段,AMB是连接BA,的线段.六、计算Lyxydxxdy22,其中L为不经过原点的光滑闭曲线.(取逆时针方向)七、验证yxxdxxyyx23228()83(dyyey)12在整个xoy平面内是某一函数),(yxu的全微分,并求这样一个),(yxu.八、试确定,使得dyryxdxryx22是某个函数),(yxu的全微分,其中22yxr,并求),(yxu.九、设在半平面0x内有力)(3jyixrkF构成力场,其中k为常数,22yxr.证明在此力场中场力所作的功与所取的路径无关.练习题答案一、1、LdyQPdx；2、xQyp；3、10.三、301.四、283a.五、236.六、1、2sin4167；2、-2.七、1、当所包围L的D区域不包含原点时,0；2、当所包围L的D区域包含原点,仅绕且L原点一圈时,2；3、当所包围L的D区域包含原点,绕且Ln原点圈时,n2.七、)(124),(223yyeyeyxyxyxu.八、yryxu),(,1.