高三数学(理科)综合内切球和外接球问题(附习题)

高考数学中的内切球和外接球问题一、有关外接球的问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点。一、直接法(公式法)1、求正方体的外接球的有关问题例1若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为______________.解析：球的半径可转化为先求正方体的体对角线长，再计算半径.故表面积为27.例2一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该正方体的表面积为24，则该球的体积为____43__________.2、求长方体的外接球的有关问题例3（2007年天津高考题）一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3，则此球的表面积为.解析：体对角线正好为球的直径。长方体体对角线长为14，故球的表面积为14.例4、已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（C）.A.16B.20C.24D.32解析：长、宽、高分别为2，2，43.求多面体的外接球的有关问题例5.一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为３，则这个球的体积为.解设正六棱柱的底面边长为x，高为h，则有263,1,2936,384xxxhh．∴正六棱柱的底面圆的半径12r，球心到底面的距离32d.∴外接球的半径221Rrd.43V球.小结本题是运用公式222Rrd求球的半径的，该公式是求球的半径的常用公式.二、构造法(补形法)1、构造正方体例5若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是_______9________.解把这个三棱锥可以补成一个棱长为3的正方体，于是正方体的外接球就是三棱锥的外接球.则有222223339R.∴294R.故表面积249SR.小结一般地，若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为abc、、，则就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，则有2222Rabc.出现“墙角”结构利用补形知识，联系长方体。例6.一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（A）A.3B.4C.33D.6解析：联想只有正方体中有这么多相等的线段，所以构造一个正方体，再寻找棱长相等的四面体，如图2，四面体满足条件，由此可求得正方体的棱长为1，体对角线为3，从而外接球的直径也为3例7（2006年山东高考题）在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，0DAB=60，E为AB的中点，将ADE与BEC分布沿ED、EC向上折起，使AB、重合于点P，则三棱锥P-DCE的外接球的体积为（C）.A.4327B.62C.68D.624解析：（如图3）AE=EB=BC=DC=DE=CE=1AD，即三棱锥P-DCE为正四面体，至此，这与例6就完全相同了ABEDCDCEP图3例8（2008年浙江高考题）已知球O的面上四点A、B、C、D，DAABC平面，ABBC，DA=AB=BC=3，则球O的体积等于.解析：DA=AB=BC=3，则此长方体为正方体，所以CD长即为外接球的直径，利用直角三角形解出CD=3.故球O的体积等于92.（如图4）2、构造长方体例9.已知点A、B、C、D在同一个球面上，BBCDA平面，BCDC，若6,AC=213,AD=8AB，则球的体积是.解析：构造下面的长方体，于是AD为球的直径（如图5）DACBO图4ACBDO图5三.寻求轴截面圆半径法例4正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为2，点SABCD、、、、都在同一球面上，则此球的体积为.解球心O必在1SO所在的直线上.∴ASC的外接圆就是外接球的一个轴截面圆，外接圆的半径就是外接球的半径.在ASC中，由22SASCAC，，得222SASCAC.∴ASCAC是以为斜边的Rt.∴12AC是外接圆的半径，也是外接球的半径.故43V球.五.确定球心位置法例5在矩形ABCD中，4,3ABBC，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角BACD，则四面体ABCD的外接球的体积为（C）A.12512B.1259C.1256D.1253解点O到四面体的四个顶点ABCD、、、的距离相等，即点O为四面体的外接球的球心，52ROA.故3412536VR球.【例题】：已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且，，，,求球的体积。CDABSO1图3CAODB图4解：所以知所以取斜边的中点，即为该四面体的外接球的球心所以该外接球的体积为1.（陕西理•6）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（）A．433B．33C．43D．123答案B2.直三棱柱111ABCABC的各顶点都在同一球面上，若12ABACAA,120BAC，则此球的表面积等于。解:在ABC中2ABAC,120BAC,可得23BC,由正弦定理,可得ABC外接圆半径r=2,设此圆圆心为O，球心为O，在RTOBO中，易得球半径5R，故此球的表面积为2420R.3．正三棱柱111ABCABC内接于半径为2的球，若,AB两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为．答案84.表面积为23的正八面体的各个顶点都在同一个球面上，则此球的体积为A．23B．13C．23D．223答案A【解析】此正八面体是每个面的边长均为a的正三角形，所以由238234a知，1a，则此球的直径为2，故选A。5.已知正方体外接球的体积是332，那么正方体的棱长等于（）A.22B.332C.324D.334答案D6.（2006山东卷）正方体的内切球与其外接球的体积之比为()A.1∶3B.1∶3C.1∶33D.1∶9答案C7.（2008海南、宁夏理科）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直底面．已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为．答案348.（2007天津理•12）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1，2，3，则此球的表面积为．答案14π9.（2007全国Ⅱ理•15）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm的球面上。如果正四棱柱的底面边长为1cm，那么该棱柱的表面积为cm2.答案24210.（2006辽宁）如图，半径为2的半球内有一内接正六棱锥PABCDEF，则此正六棱锥的侧面积是________．答案6711.（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形(正四面体的截面)的面积是.答案212.（2009枣庄一模）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体外接球的表面积为（）ABCPDEFA．3B．2C．316D．以上都不对答案C13.(吉林省吉林市2008届上期末)设正方体的棱长为233，则它的外接球的表面积为（）A．38B．2πC．4πD．34答案C1．（2012新课标理）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上,ABC是边长为1的正三角形,SC为球O的直径,且2SC;则此棱锥的体积为（）A．26B．36C．23D．2225．（2012辽宁文）已知点P,A,B,C,D是球O表面上的点,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为23正方形.若PA=26,则△OAB的面积为______________.