对数公式及对数函数的总结

对数运算和对数函数对数的定义①若(0,1)xaNaa且，则x叫做以a为底N的对数，记作logaxN，其中a叫做底数，N叫做真数．②负数和零没有对数。③对数式与指数式的互化：log(0,1,0)xaxNaNaaN。常用对数与自然对数常用对数：lgN，即10logN；自然对数：lnN，即logeN（其中2.71828e…）．对数函数及其性质函数名称对数函数定义函数log(0ayxa且1)a叫做对数函数图象1a01a定义域(0,)值域R过定点图象过定点(1,0)，即当1x时，0y奇偶性非奇非偶单调性在(0,)上是增函数在(0,)上是减函数函数值的变化情况log0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxxlog0(1)log0(1)log0(01)aaaxxxxxxa变化对图象的影响在第一象限内，a越大图象越靠低；在第四象限内，a越大图象越靠高。类型一、对数公式的应用01xyO(1,0)1xlogayx01xyO(1,0)1xlogayx1计算下列对数3log6log2231log12log22222lg5lg61000lg64log128log22)24(log432)2log2)(log3log3(log93843log23log224216log27log322log90log5log333cba842logloglog200199lg43lg32lg32log8log8log84225.0log10log25564log325log225)))65536(log(log(loglog22222解对数的值：18lg7lg37lg214lg01)21(2lg225lg-113341log2log27+2(lg2lg5)8的值0提示：对数公式的运算如果0,1,0,0aaMN，那么（1）加法：logloglog()aaaMNMN（2）减法：logloglogaaaMMNN（3）数乘：loglog()naanMMnR（4）logaNaN（5）loglog(0,)bnaanMMbnRb（6）换底公式：loglog(0,1)logbabNNbba且（7）1loglogabba（8）abbalog1log类型二、求下列函数的定义域问题1函数)13lg(13)(2xxxxf的定义域是)1,31(2设xxxf22lg，则xfxf22的定义域为4,11,43函数234()lg(1)xxfxx的定义域为（]1,0()0,1(）提示：（1）分式函数，分母不为0，如0,1xxy。（2）二次根式函数，被开方数大于等于0，0,xxy。（3）对数函数，真数大于0，0,logxxya。类型三、对数函数中的单调性问题1函数2()lg(43)fxxx的单调递增区间为（)1,(）2函数)152ln()(2xxxf的单调递增区间是),5(3函数)23(log25.0xxy的递增区间是（)1,(）4已知312log,,981fxxx，则fx的最小值为（-2）5若函数22log()yxaxa在区间(,13)上是增函数，a的取值范围。[223,2]6不等式1)12(log3x的解集为]2,21(7设函数22log4log2fxxx，且x满足241740xx，求fx的最大值。12.提示：（1）在对数函数中xxfalog)(中，当1a，)(xf在其定义域上是增函数；当01a，)(xf在其定义域上是减函数。（2）在复合函数)(log)(xgxfa中，函数的单调性复合同增异减。类型四、对数函数中的大小比较1已知log4log4mn，比较m，n的大小。01mn2已知4log,3log,2log543cba，比较cba,,的大小关系abc3设323log,log3,log2abc，则cba,,的大小关系abc4若0ba，10c，则B（A）ccbaloglog（B）bbccloglog（C）ccba（D）bacc5若1a，且yaxaayaxloglog，则x与y之间的大小关系是（）0yx提示：在byalog比较大小题型中，当1a，00101yxyx；当01a，00101yxyx。类型五、对数函数求值问题1已知函数xxflg)(，若1)(abf，则)()(22bfaf22解方程08log9loglog)(log32222xx8x或41x3已知1ba,若25loglogabba，abba，则a，b。2,4ba4已知函数2loglog)(32xbxaxf，若4)20141(f，则)2014(f的值为_____0___．提示：在对数函数求值过程中，主要用到对数公式类型六、对数函数中的分段函数问题1设函数12322log12xexfxxx，，，则2ff的值为（2）2已知21()0()2log0xxfxxx，，，，≤则21(8)(log)4ff___7________.3已知函数()fx满足：当4x，则()fx＝1()2x；当4x时()fx＝(1)fx，则2(2log3)f＝124提示：分段函数中涉及到对数公式，需要注意函数的定义域问题类型七、对数函数中含参数问题1若1112logaa，则a的取值范围是4+，．2若关于x的方程4)lg()lg(2axax的所有解都大于1，求a的取值范围。)1001,0(3函数)00(log)(aaxxfa且，当),2[x时，1|)(|xf，则a的取值范围是（21121aa或）4设1a，函数()logafxx在区间[,2]aa上的最大值与最小值之差为12，则a4提示：对数函数中有参数以及求参数的取值范围，需要考虑对数函数的单调性，综合性很强。类型八、对数函数中的图像问题1当1a时，函数xxfalog)(和xaxf)1()(的图象只可能是()2函数xxxxf2log)(的大致图象是()3图2-2-2中的曲线是对数函数xyalog的图象，已知a取101,53,34,3四个值。则相应4321,,,cccc的a值依次为（53,101,3,34）提示：函数的图像题型，先看奇偶性再看单调性，然后用特指排除。类型九、对数函数中的奇偶性问题1若函数)2(log)(22axxxfa是奇函数，则a22。2若函数)ln()(2xaxxxf为偶函数，则a13若函数axexfx1ln3是偶函数，则a____32________.4若函数mxxfalog)(是偶函数，且在]4,2[上最大值为2，则ma的值2提示：偶函数必有)()(xfxf，然后求参数。类型十、对数函数中的绝对值问题1已知函数xxfln)(，若)()(bfaf，求ba的取值范围),2(2已知函数)1lg()(xxf，若ba且)()(bfaf，则ba的取值范围是0（，）3已知函数xxflg)(,若ba0,且)()(bfaf,则ba2的取值范围是(3,)提示：已知对数函数xxfalog)(的图像，只需要把x轴下方的图像翻到x轴上方。如果当)()(bfaf，且ba，必有1,10ba，以及1ab。类型十一、对数函数中的综合问题1若函数)1(log)(xaxfax在]1,0[上的最大值和最小值之和为a，则a的值为(2)2若42log(34)logabab，则ab的最小值为（743）3设点P在曲线xey21上，点Q在曲线)2ln(xy上，则PQ的最小值为（21ln2）4已知两个函数xxfalog)(，xaxg)(，(1)若)()()(xgxfxh，在]4,1[的最大值为18，求a值；(2)对任意的]4,1[x时，)()(xgxf，求a的取值范围。【答案】（1）2a；（2）),2[)1,0(a。提示：对数函数中可以和不等式，单调性，导数等进行综合，解答中需要多个知识点相结合多种考虑。习题类型一、关于对数公式的应用1求下列各式中的x的值：(1)313x；(2)6414x；(3)92x；(4)1255x2；(5)171x2；（6）)4(lg)100(log)9(log322化简下列各式：(1)51lg5lg32lg4；(2)536lg27lg321240lg9lg211；(3)3lg70lg73lg；(4)120lg5lg2lg2(5)4log3log54)51()41((6)2log2log4log7101.0317103(7)6lg3log2log100492575(8)31log27log12log2594532(9))2log2(log)3log3(log9384；(10)6log]18log2log)3log1[(46626（11）3log9log283设25abm，且112ab，则m104计算31102log8)833()32()23(364log3的值2.5计算：310log22310.027217lg4lg34lg6lg0.023的值2536计算：220231lg2lg5lg2020160.0273的值1027计算：]1)2(log)41)[(log5lg2(lg14121＝-18计算：3log15log15log5log52333的值是(0)9计算：2log3log3log2log)3log2(log3223223的值是(2)10已知zyx,,为正数，且1243yx，求使yx11的值。111已知lga，lgb是方程22410xx的两个根，则2(lg)ab的值是（2）12已知48a，296mn，且112bmn，则1.2a与0.8b的大小关系____1.20.8ab___13设方程02102xx的两个根分别为,，求2224)(log的值2114已知)2lg(2lglgyxyx，求yx2log的值。415实数)(,,cbcba，且)1lg()1lg()1lg(2cab，15,2cbacab，求cba,,的值。1，5，916已知nm,为正整数，0a且1a，且nmnmmmaaaaaloglog)111(log)11(loglog，求nm,的值。22.mn＝，＝类型二、对数函数的应用1函数)1(log)(21xxf的定义域是_]2,1(___．2函数xxf6log21)(的定义域为]6,0(.3函数4)(log)(2xxf的定义域是(),16[)4函数lg43xfxx的定义域_)4,3()3,(_。5若()log()fxx，则()fx的定义域为（(,)）6函数)34(log1)(5.0xxf的定义域是(]1,43()7求函数)23(log1log)(33xxxf的定义域．),1()1,0(8函数234)1lg()(xxxxf的定义域为(]1,1()9函数xxxxf)2ln()(2的定义域是（)2,0()0,1(）10函数)23(log25)(2xxxfa的定义域是（]5,1()1,32(）11函数)86(log)(2)12(