数列的概念与简单表示法

国际象棋起源于古印度，关于国际象棋还有一个传说。国王奖赏发明者，问他有什么要求，他答道：“在棋盘第一个格放1颗麦粒，在第二个格放2颗麦粒，在第三个格放4颗麦粒，在第四个格放8颗麦粒。以此类推，每个格子放的麦粒数是前一个格子的2倍，直到64个格子。国王觉得这太容易了，就欣然答应了他的要求，你认为国王能满足他的要求吗？新课导入4，5，6，7，8，9，10从下往上钢管的数目有什么规律？钢管的总数是多少？如果增加钢管的层数，有没有更快捷的方法求出总数？1----2----3----4----5----6----7----想一想15,5,16,16,28,32从1984到2004年金牌数奥运之光在本章我们将学习数列的知识，学完后解决这类问题那是小菜一碟，我们拭目以待。。。2.1数列的概念与简单表示法教学目标（1）理解数列的概念及数列的表示方法（列表法、图象法、通项公式法）,能用函数的观点认识数列;（2）了解数列的通项公式和递推公式的意义,会根据数列的通项公式写出数列的任意一项;（3）知道递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前n项.知识与能力过程与方法（1）培养观察能力，推理能力，发展有条理地逻辑能力；（2）经历探索数列的递推公式的的过程，体会利用递推公式获得数列每一项的过程．情感态度与价值观（1）经历和体验数学活动的过程以及数学在现实生活中的应用，树立学好数学的信心；（2）让学生在民主、和谐的氛围中感受学习的乐趣；（3）在探索求数列通项公式及其运用的过程中，培养一定的逻辑关系.重点：数列的概念及数列的通项公式，数列递推公式的概念.教学重难点难点：各项的特点找出规律写出前n项的通项公式.根据递推关系求通项公式.数列是初等数学和高等数学的一个衔接点历来是高考考察的重点，突出考察考生的思维能力、逻辑推理能力及解决问题的能力.有关数列的试题经常在数列知识、函数知识和不等式等知识网络的交汇点命题。学习中应注意应用“联系”的思想、从特殊到一般的思想方法，也要掌握常用方法．请观察:(1)2,3,4,5,6,(2)1，3，32，33，34，…(3)0,10,20,30,…,1000(5)-1,1,-1,1,-1,…(4)….,21,32,43,54(6)66,56,34,21,11…向上面的例子中，按一定次序排列的一列数叫数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，······，第n项，······数列的一般形式可以写成a1，a2，…，an，…其中an是数列的第n项。简记为{an}.数列的分类(1)按项分类：可以分为有穷数列和无穷数列.有穷数列:项数有限的数列无穷数列:项数无限的数列(2)按的增减性分类：na递减数列:从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递增数列.摆动数列;如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫摆动数列.常数列:如果它的每一项都相等，这个数列叫做常数列.递增数列:从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列叫做递增数列.上述6个数列中的项与序号的关系有没有规律？如何总结这些规律？数列中的每一个数都对应着一个序号，反过来，每个序号也都对应着一个数.如数列（1）序号12345项23456←←←←←如果已知一个数列的通项公式，那么依次用1，2，3，….代替公式中的n，就可以求出这个数列的各项.从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N＊（或它的有限子集{1，2，…，n}）的函数自变量从小到大一次取值时对应的一列函数值，且数列的通项公式也就是相应函数的解析式.数列可以用图像来表示：（见下页）anOn123456710987654321数列图象是一些点an=n+1的图象如果数列{an}中的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，则称此公式为数列的通项公式.1nnnSSa1nnnSSa也满足时，才是数列的通项公式.注意：只有当a1注意:有些数列的通项公式并不唯一，如数列(5)并不是所有的数列都有通项公式，如数列(6)数列通项公式an=2n-1（n≤64),只要依次用n=1，2，3，4，…64代替公式中的n，就可以求出各项，也就是说，a1=1,a2=2=2a1a3=4=2a2……a64=263=2a63即：a1=1,an=2an-1(2≤n≤64)向上面那样，如果已知数列{an}的第一项（或前几项），且任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法.题型1根据数列的前几项写出数列的一个通项公式解决本类问题关键是观察归纳各项与对应的项数之间的联系．同时.要善于利用我们熟知的一些基本数列，建立合理的联想，转化而达到问题的解决．例1观察下面数列的特点，用适当的数填空，并写出每个数列的一个通项公式：（1）（）,,43,32,127,125...31（2）1，2，4，8，（），32答案（1）括号内填，通项公式为:an=2112n10（2）括号内填16，通项公式为:an=2n-1分析（1）根据观察：分母的最小公倍数为12，把各项都改成以12为分母的分数.（2）一看都是2的倍数，则要分析是2的几次幂.例2(1)3，8，15，24，…(2)-1,3,-6,10,…(3)1,0,0,0,…(4)6，66，666，6666，…写出下面数列的通项公式，是它们的前四项分别是下列各数：例2解析:(1)注意观察各项与对应序号的关系，可以发现：3=1×3，8=2×4，15=3×5，24=4×6所以an=n(n+2)。本小题也可以与数列4，9，16，25，…(n+1)2比较，得出：an=(n+2)2-1=n(n+2).(2)各项的公共特点是负正相间。观察各项绝对值与对应序号关系，初看找不到规律，可将各项绝对值试迟疑序号：11=1=,2223=2336=2=,24410=25所以：nan=,21n于是an=(-1)n●21)n(n数列分子是1，0重复变化，可看成是数列1，-1，1，-1…对应项和的组成的新数列，分母是自然数列的各项，故所给数列的通项公式是(3)所给数列可改写为…,11,20,31,40,51,602n1)(1nan=(4)将题设数列与数列9，99，999，9999，99999，……an=10n-1总结评述已知一个数列的前几项，写出这个数列的一个通项公式时，将这个数列向我们熟悉的数列划归，是一种重要的思路.相比较，可得an=(10n-1)32常见数列的通项公式：（1）-1，1，-1，1，-1，1…，an=(-1)n（2）1，2，3，4，5，…，an=n（3)2，4，6，8，10…，an=2n（4）1，3，5，7，9…，an=2n-1（5）1，4，9，16，25…，an=n2(6)9，99，999，9999…，an=10n-1此题型大致分两类。一类是根据前几项的特点归纳猜想出的表达式。然后用数学归纳法证明：另一类是将已知递推关系式，用代数的一些变形技巧整理变形。然后采用累加法、累乘法、迭代法、换元法、或转化基本数列(等差或差比)方法求算通项．题型2已知数列的递推关系求数列的通项例3已知数列{an}满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式。a1=0，an+1=an+(2n-1)解:∵a1=0，an+1=an+(2n-1)∴a2=a1+(2×1-1)=1a3=a2+(2×2-1)=4a4=a3+(2×3-1)=9a5=a4+(2×4-1)=16∴数列{an}为：0，1，4，9，16，…∴an=(n-1)2例4已知数列{an}满足a1=2，a2=5，a4=23，且an+1=Xan+Y,求实数X、Y的值.分析：通过地推公式求出a2，a4，解方程组，即求出未知数X、Y.解：由已知可得a2=Xa1+Y即：5=2X+Ya3=Xa2+Y=5X+Ya4=Xa3+Y=X(5X+Y)+Y即：23=5a2+Xa+Y①②联立①、②得方程组2X+Y=55a2+Xa+Y=23解之得：X=2Y=1或X=-3Y=111、数列的概念数列是按照一定次序构成的一列数，其中数列中数的有序性是数列的灵魂.2、数列的通项公式并非每一个数列都可以写出通项公式；有些数列的通项公式也并非是唯一的.课堂小结如果数列{an}中的第n项an与n之间的关系可以用一个公式来表示，则称此公式为数列的通项公式.3、数列的分类按项分类：有穷数列：项数有限无穷数列：项数无限按的增减性分类：na递增数列：递减数列：摆动数列：常数数列：如何求数列{an}的通项公式an的最大值？﹖探索延拓创新一◆思路一思路二数列是一个特殊的函数，我们可以利用函数求最值的方法去求解数列中的最值问题.利用数列的单调性求解.判断数列的单调性往往只需要比较相邻两项an和an+1的大小。这一点源于函数的单调性而有充分利用了数列的特殊性.思路三利用an最大的一个必要条件首先求得满足条件的n的取值范围，然后找出此范围内的正整数的值，最后比较它们对应项的大小，其中最大的一项就是an的最大值.an≥an-1an≥an+1求解.◆﹖数列的通项公式an与前n项和公式sn探索延拓创新二an=S1，n=1Sn-Sn-1，n≥2an与前n项和Sn之间的关系式为：值得注意的是，由前n项和sn求通项公式an=f(n)时，要n=1与n≥2两种情况分别进行运算，然后验证两种情况可否用统一式子表示。若不能，就用分段函数表示.探索延拓创新三斐波那契数列指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、……“斐波那契数列”的发明者，是意大利数学家列昂纳多·斐波那契（LeonardoFibonacci，生于公元1170年，卒于1240年，籍贯大概是比萨）.有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式居然是用无理数来表达的.这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和.它的通项公式为：(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}（又叫“比内公式”，是用无理数表示有理数的一个范例.）（√5表示根号5）随堂练习一、根据下面各数列的前几项，写出数列的一个通项公式：(1)3，5，9，17，33，…；(2)…(3)…(4)0．9，0．99，0．999，0．9999，…；,21,41,85,1613,3229,6461,32,154,356,638,9910(5)3，5，3，5，3，5，…．(1)解法1联系数列2，4，8，16，32，…，(想到这一点是关键)(3)注意到分母分别是1×3，3×5，5×7，7×9，9×11，…为两个连续奇数的积.(2)这个数列的各项由三部分组成：符号、分子、分母，所以应逐个考查其规律，先看符号，第一项有点违反规律，需写为，从而联系数列，再看分母，考虑数列最后看分子，显然每个分子比分母都小3.21n1,2n1011210113101141011(4)原数列可转化成…nn1)(4a(5)，还可表示为na3，n为奇数5，n为偶数1.已知数列的通项公式为an=(-1)n+1·(2n-3)，则a3+a4+a5=__________．2.已知数列的通项为an=2n(n+1)，则a2+a8=_____________．1565二、填空题：习题答案1.(1)2,3,5,7,11,13,17,19;(2)2,6,22,3,10,23,14,15,4,32;(3)1,1.7,1.73,1.732,...,1.732050;(4)2,1.8,1.74,1.733,...,1.732051.11112.(1)1,,,,;491625(2)2,5,10,17,26.