新人教版第24章圆单元复习

第24章圆单元复习本章知识结构图圆的基本性质圆圆的对称性弧、弦圆心角之间的关系同弧上的圆周角与圆心角的关系与圆有关的位置关系正多边形和圆有关圆的计算点和圆的位置关系切线直线和圆的位置关系三角形的外接圆三角形内切圆等分圆弧长扇形的面积圆锥的侧面积和全面积1.圆的定义:到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.2.有关概念:(1)弦、直径(圆中最长的弦)(2)弧、优弧、劣弧、等弧(3)弦心距．O一、圆的基本概念1.圆的对称性:(1)圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是它的对称轴.圆有无数条对称轴.(2)圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转任何一个角度都能与自身重合,即圆具有旋转不变性.．二、圆的基本性质2.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系:(1)在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它所对的弧相等,所对的弦相等.(2)在圆中,如果弧相等,那么它所对的圆心角相等,所对的弦相等.(3)在一个圆中,如果弦相等,那么它所对的弧相等,所对的圆心角相等.ABDCO∵∠COD=∠AOB︵AB︵CD=∴∴AB=CD3.垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.．ADBPC∵CD是圆O的直径,CD⊥AB∴AP=BP,︵AC︵BC=︵AD︵BD=五个中知道任意两个，其它三个都成立！（注意推论中弦不能是直径）对于一个圆中的弦长a、圆心到弦的距离d、圆半径r、弓形高h，这四个量中，只要已知其中任意两个量，就可以求出另外两个量，如图有：d+h=r⑵222)2(adr垂径定理的应用1、如图,已知⊙O的半径OA长为5,弦AB的长8,OC⊥AB于C,则OC的长为_______.OABC3AC=BC弦心距半径半弦长典型例题2、如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。MAPBOA3、如图，P为⊙O的弦BA延长线上一点，PA＝AB＝2，PO＝5，求⊙O的半径。关于弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线。圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为直角三角形的问题。MAPBOA4.圆周角:定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角.性质:(1)在同一个圆中,同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.OABC∠BAC=∠BOC12OBADEC在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.性质(2)：∵∠ADB与∠AEB、∠ACB是同弧所对的圆周角∴∠ADB=∠AEB=∠ACB归纳：在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两个圆周角③两条弧,④两条弦,⑤两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.性质3:半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于900(直角).性质4:900的圆周角所对的弦是圆的直径.OABC∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=900定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。2.如图，AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦，延长BD到点C,使DC=BD,连接AC交⊙O与点F.（1）AB与AC的大小有什么关系?为什么?（2）按角的大小分类,请你判断△ABC属于哪一类三角形，并说明理由.(05宜昌)OFDCBA1.在⊙O中，弦AB所对的圆心角∠AOB=100°，则弦AB所对的圆周角为____________.（05年上海）500或1300典型例题位置关系数量关系设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在⊙O内点P在⊙O上点P在⊙O外d＜rd=rd＞rrpdprdPrdOOO三、与圆有关的位置关系1.点和圆的位置关系（2）直线l和⊙O相切（1）直线l和⊙O相离（3）直线l和⊙O相交drd=rdrdorldorlodrl两个交点没有交点一个交点2.直线和圆的位置关系:（4）判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。辅助线：有交点，连圆心，证垂直半径辅助线：无交点，作垂直，证等于半径.3、切线的性质:(1)圆的切线垂直于经过切点的半径.(2)经过圆心垂直于切线的直线必经过切点.(3)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.．O．A∟l∴OA⊥l∵直线l是⊙O的切线,切点为A4、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；这点与圆心的连线平分这两条切线的夹角。BAPO．．．∵PA、PB为⊙O的切线∴PA=PB,∠APO=∠BPO从圆外一点引圆的两条切线，圆心和这一点的连线垂直平分切点所成的弦；平分切点所成的弧。（3）连结圆心和圆外一点（2）连结两切点（1）分别连结圆心和切点1.在Rt△ABC中，∠C=90°,BC=3cm,AC=4cm,D为AB的中点，E为AC的中点，以B为圆心，BC为半径作⊙B，问：（1）A、C、D、E与⊙B的位置关系如何？（2）AB、AC与⊙B的位置关系如何？EDCAB·典型例题2.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于D,以D为圆心,DB长为半径作⊙D.试说明:AC是⊙D的切线.F过D点作DFAC于F点，然后证明DF等于圆D的半径BD^典型例题3、如图，AB在⊙O的直径，点D在AB的延长线上,且BD=OB,点C在⊙O上,∠CAB=30°.(1)CD是⊙O的切线吗？说明你的理由;(2)AC=_____，请给出合理的解释.ABCDO只要连接OC，而后证明OC垂直CD典型例题4、AB是⊙O的弦,C是⊙O外一点,BC是⊙O的切线,AB交过C点的直径于点D,OA⊥CD,试判断△BCD的形状,并说明你的理由.典型例题典型例题5．如图，已知△ABC的三边长分别为AB=4cm，BC=5cm，AC=6cm，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是E、F、G，则AE=，BF=，CG=。不在同一直线上的三点确定一个圆.O．．C．B．A5、三角形的外接圆与内切圆:三角形的外心就是三角形各边垂直平分线的交点.．OABC三角形的内心就是三角形各角平分线的交点.1.如图,是某机械厂的一种零件平面图.(1)请你根据所学的知识找出该零件所在圆的圆心(要求正确画图,不写做法,保留痕迹).(2)若弦AB=80cm,AB的中点C到AB的距离是20cm,求该零件所在的半径长.典型例题2、小红家的锅盖坏了,为了配一个锅盖,需要测量锅盖的直径(锅边所形成的圆的直径),而小红家只有一把长20cm的直尺,根本不够长,怎么办呢?小红想了想,采取以下方法:首先把锅平放到墙根,锅边刚好靠到两墙,用直尺紧贴墙面量得MA的长,即可求出锅盖的直径,请你利用图乙,说明她这样做的道理.典型例题2.半径：正多边形外接圆的半径叫做这个正多边形的半径．１.中心：一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．3.中心角：正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角．4.边心距：中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距．OABFDCEG四、正多边形各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.n360中心角）边心距（）边心距（面积　，　　边心距）（rnarLSraR21212221.等边三角形的高为6，则它的边心距，半径是；2.正方形的边心距是4，则它的半径是，边长是；3.正六边形的半径是8，则它的边长是，边心距是，面积是；典型例题1.圆的周长和面积公式2.弧长的计算公式3.扇形的面积公式S=360nπr2L=180nπr=12lrS或周长C=2πr面积s=πr2．Or五、弧长、扇形面积4.圆柱的展开图:rhS侧=2πrhS全=2πrh+2πr2扇形侧SSrl底侧全SSS2rlr360rnl5.圆锥的展开图:θlrh1、扇形AOB的半径为12cm,∠AOB=120°,求扇形的面积和周长.典型例题2、圆锥的母线为5cm，底面半径为3cm，则圆锥的表面积为_______3、已知：在RtΔABC,求以AB为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。DCBAcm5BC,cm13AB.90C04、如图，圆锥的底面半径为2cm，母线长为8cm，一只蚂蚁从底面圆周上一点A出发，沿圆锥侧面爬行一周回到A点，求蚂蚁爬行的最短路线长是多少？BAOA’典型例题E．CBAOD∟∟1.如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C、D,则:AC=BD若大圆的弦切小圆于C,则OACBAC=BC两圆之间的环形面积．S=πAB241六、常见的基本图形及结论2.如图,以等腰△ABC的腰AB为直径作⊙O交底边BC于点D,则:OCBAD点D是BC的中点.O．．．．PBADC3.如图,已知PA、PB切圆O于点A,B,过弧AB上任一点E作圆O的切线,交PA,PB于点C,D,则:(1)△PCD的周长=2PA(2)∠COD=900-∠APB21E．OABC．．．．OABC．．．DFEDFE4.如图,△ABC各边分别切圆O于点D、E、F.(1)∠DEF=900-∠A21(3)S△ABC=(a+b+c)r21(2)∠BOC=900+∠A21ABC．O．．．EFD5.在Rt△ABC中,∠ACB是直角,三边分别是a、b、c,内切圆半径是r,则:内切圆半径r=a+b-c2a+b+cab或r=OBDCAE6.如图,AB是圆O的直径,AD,BC,DC均为切线,则:(1)DC=AD+BC(2)∠DOC=900课堂小结