02拉压--变形及变形能

1第二章拉伸与压缩目录2第二章拉伸与压缩目录§2-1轴向拉伸与压缩的概念和实例§2-2拉压时的内力和横截面上的应力§2-4材料拉、压时的力学性质§2-5失效、安全系数和强度计算§2-6轴向拉伸或压缩的变形§2-7轴向拉伸或压缩的变形能§2-8拉伸、压缩静不定问题§2-9温度应力和装配应力§2-10应力集中的概念§2-3直杆轴向拉压时斜截面上的应力§2-11剪切和挤压的实用计算3§2-6轴向拉伸或压缩的变形一纵向变形lll1AFllEAlFlNE二横向变形llbbb1bb钢材的E约为200GPa，μ约为0.25—0.33E为弹性摸量,EA为抗拉刚度泊松比横向应变AFN目录区别：1、应力与应变的关系；2、此处是变形与轴力的关系4ii)对于N沿杆长连续变化的情况，§2-6轴向拉伸或压缩的变形i)多力杆：niiiiEALNl1LxEAdxxNl)()(即N=N(x)：EANLl的应用推广：虎克定律20020020kN40kN60kNNx40kN20kNN(x)xN5目录§2-6轴向拉伸或压缩的变形6目录§2-6轴向拉伸或压缩的变形7解：1)计算轴向应变2)计算横截面应力已知：d1=15.3mm,L=54mm,,E=200GPa,,试计算横截面上的正应力及横向变形量。mml04.03.06107415404.0LL691074110200E)(2.148MPa§2-6轴向拉伸或压缩的变形例题2-68§2-6轴向拉伸或压缩的变形例题2-6续3)计算横向应变4)计算横向变形压紧力：)(5.54kNAN6'107413.06102223.151022261'dd)(0034.0mm9例题2-7已知：AB长2m,面积为200mm2。AC杆面积为250mm2。E=200GPa。F=10kN。试求节点A的位移。0yFkN202sin/1FFFN解：1、计算轴力。（设斜杆为1杆，水平杆为2杆）取节点A为研究对象kN32.173cos12FFFNN0xF0cos21NNFF0sin1FFNAF1NF2NFxy300目录§2-6轴向拉伸或压缩的变形10例题2-7续已知：AB长2m,面积为200mm2。AC杆面积为250mm2。E=200GPa。F=10kN。试求节点A的位移。2、根据胡克定律计算杆的变形。69311111102001020021020AElFlN693222221025010200732.11032.17AElFlN斜杆伸长水平杆缩短目录§2-6轴向拉伸或压缩的变形1mmm1013mm6.0m106.03113、节点A的位移（以切代弧）AF1NF2NFxy3001mm11111AElFlNmm6.022222AElFlNAA1A2AAA1A2Amm111lAAmm6.022lAAmm6.02lxmm039.3039.1230tan30sin21433llAAAAymm1.3039.36.02222yxAA3A4A目录§2-6轴向拉伸或压缩的变形例题2-7续12小结----作变形图的要点：变形图与受力图相对应；变形图以切代弧确定变形后交点的位置。§2-6轴向拉伸或压缩的变形几何关系：几何关系：2121LL23sin/'122LLBBL13§2-7轴向拉伸或压缩的变形能应变能(strainenergy)——变形能。是指固体在外力作用下因变形而储存的能量。忽略其他能量的微小变化，认为弹性体变形时，积蓄在弹性体内的应变能Vε在数值上等于外力所作功W，Vε=W。应变能的单位为J（1J=1N·m）。14外力功=功能原理LLPdW0)(UW§2-7轴向拉伸或压缩的变形能ll拉杆(压杆)在线弹性范围内的应变能外力F所作功：lFW21WVε杆内应变能：lFV21εEAlFEAFlFlFV221212ε15亦可写作22ε)(22llEAEAlFV2121εεAllFVVvEv22ε22εEv或或应变能密度vε——单位体积内的应变能。应变能密度的单位为J/m3。§2-7轴向拉伸或压缩的变形能16fxxF)(NEAxxFV2d)(d2NεllEAxxFVV02Nεε2d)(dlxf沿杆长均匀分布的荷载集度为ffl轴力图)d(xxffxxd微段的分离体§2-7轴向拉伸或压缩的变形能17J67.64mN67.64])m1025(4π)[Pa10210()m2()30cos2N10100()cos2(2223923221NεEAlPEAlFV解：（1）应变能例题2-8求图示杆系的应变能，和结点A的位移ΔA。已知：P=100kN，杆长l=2m，杆的直径d=25mm，=30°，材料的弹性模量E=210GPa。18（2）结点A的位移)(mm293.1m10293.1N10100mN67.642233εPVΔAε21VPΔA由知§2-7轴向拉伸或压缩的变形能19§2-8拉、压超静定问题目录1.静定问题：未知力个数独立的静平衡方程个数静不定问题：未知力个数独立的静平衡方程个数静定静不定静不定静不定次数=未知力数的数目-静力平衡方程的个数20§2-8拉、压超静定问题目录2、静不定问题的一般解法（变形比较法）（1）静力平衡方程（2）变形协调方程（3）物理关系方程（4）补充方程联立求解3、超静定问题解法举例21§2-8拉、压超静定问题1、独立的静力平衡方程210NNxFFFFFFFNNy31cos202、变形几何关系cos321lll3、物理关系cos1111AElFlN3333AElFlN4、补充方程coscos333111AElFAElFNN1l2l3l例题2-9目录解：图示结构，1、2杆的抗拉刚度均为E1A1，3杆的抗拉刚度为E3A3,在力F的作用下，求三杆的轴力？224、静不定问题特征1）各杆的受力与刚度有关；2）静不定问题可能产生初应力或温度应力。§2-8拉、压超静定问题5、求解方程组，113332cos2cos21AEAEFFFNN33311cos213AEAEFFN23§2-8拉、压超静定问题例题2-10变形协调关系:wstllFWFstF物理关系:ststststAElFl平衡方程:stWFFF解：（1）补充方程:（2）目录木制短柱的4个角用4个40mm×40mm×4mm的等边角钢加固，已知角钢的许用应力[σst]=160MPa，Est=200GPa；木材的许用应力[σW]=12MPa，EW=10GPa，求许可载荷F。F25025024§2-8拉、压超静定问题解，得：FFFFstW283.0717.0根据角钢许用应力，确定FstststAF283.0kN698F根据木柱许用应力，确定F717.0kN1046F所以许可载荷：kN698F目录F250250查表知40mm×40mm×4mm等边角钢2cm086.3stA故,cm34.1242ststAA2cm6252525WA例题2-10续25§2-8拉、压超静定问题3杆材料相同，AB杆面积为200mm2，AC杆面积为300mm2，AD杆面积为400mm2，若F=30kN，试计算各杆的应力。32lllADAB静力平衡方程：0xF0320130cos30cosNNNFFFFFFFNNy030130sin30sin0即：1323321NNNFFF2231FFFNN，则AB、AD杆长为l解：设AC杆杆长为F30ABC30D123FAxy1NF2NF3NF例题2-11目录26§2-8拉、压超静定问题xyFA1NF2NF3NFxyAAxy将A点的位移分量向各杆投影.得：cossin1xylxl2cossin3xylcos2213lll所以，变形关系为：2133lll代入物理关系：22113333232EAlFEAlFEAlFNNN322213NNNFFF整理得：目录(2)变形几何关系F30ABC30D27§2-8拉、压超静定问题F30ABC30D123xyFA1NF2NF3NF1323321NNNFFF2231FFFNN322213NNNFFF联立（1）（2）和（3）：MPa6.863（压）MPa8.262（拉）MPa1271（拉）目录解得：kN6.3432kN04.823kN4.25322321FFFFFFNNN所以：281.温度应力§2-9温度应力和装配应力平衡方程:RA=RB物理关系:Lt=Lt变形几何关系:Lt=L补充方程:联立求解:RA=RB=EAtL=RBL/EAtLEALRBtEAtEAARBt29§2-9温度应力和装配应力已知：三杆的抗拉刚度EA相同，3杆制造短了长度，若将三根杆用铰A装配，试求装配后各杆的轴力。解：1）平衡方程2）装配后的变形几何关系(变形图)，0X21NN)1(0cos213NN，0Y)2(,3Lcos1L31cosLL2、装配应力30§2-9温度应力和装配应力4）补充方程5）联立求解3）物理关系,111EALNLEALNL333EALNEALN321cos)3()cos1cos2(221EALNN)cos1cos2(1cos223EAN2、装配应力31例3：D1=45mm，t=3mm，d2=30mm，E1=210GPa，1=1210-61/oC，E2=110GPa，2=1610-61/oC，t从30o升高至180o（30o为装配时温度），求钢管和铜杆内的应力以及组合体的伸长。解：1）)1(21NNN§2-9温度应力和装配应力:0X322）变形几何关系：3）物理关系：4）补充方程：5）联立求解NNttLLLL2112，tLLt11tLLt22，1111AELNLN2222AELNLN221112AENLAENLtLtL)2(2211221112)(AEAEAEAtEN)(2.36kN§2-9温度应力和装配应力336）应力：（拉）（压）7）组合体伸长：)(5.91111MPaAN)(2.51222MPaANNtLLL11111AENLTL)(67.0mm§2-9温度应力和装配应力34§2-10应力集中的概念常见的油孔、沟槽等均有构件尺寸突变，突变处将产生应力集中现象。mtKmax1、形状尺寸的影响：尺寸变化越急剧、角越尖、孔越小，应力集中的程度越严重。2、材料的影响：应力集中对塑性材料的影响不大；应力集中对脆性材料的影响严重，应特别注意。目录称为理论应力集中因数tK35小结1.研究对象2.轴力的计算和轴力图的绘制3.典型的塑性材料和脆性材料的主要力学性能及相关指标4.横截面上的应力计算，拉压强度条件及计算5.拉（压）杆的变形计算，桁架节点位移6.拉压超静定的基本概念及超静定问题的求解方法目录36作业P562.14,P562.17,P602.28，P602.30