必修3-第三章概率-3.3几何概型

2010～2011学年度高一数学·必修4（人教A版）济宁育才中学高一数学组朱继哲3.3.1几何概型3.3.2均匀随机数的产生习题课2/463/46引例思考：假设你家订了一份报纸,送报人可能在早上6:30—7:30之间把报纸送到你家,你父亲离开家去工作的时间在早上7:00—8:00之间,问你父亲在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少?问：1、能否用古典概型的公式来求解?2、事件A包含的基本事件有多少?为什么要学习几何概型?4/46问题：图中有两个转盘.甲乙两人玩转盘游戏,规定当指针指向B区域时,甲获胜,否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少?5/46事实上,甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的圆弧的长度有关,而与字母B所在区域的位置无关.因为转转盘时,指针指向圆弧上哪一点都是等可能的.不管这些区域是相邻,还是不相邻,甲获胜的概率是不变的.6/46几何概型的概念•如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.•几何概型的特点:(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.在几何概型中,事件A的概率的计算公式如下:()APA构成事件的区域长度（面积或体积）全部结果所构成的区域长度（面积或体积）7/46解:设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内,因此由几何概型的求概率的公式得即“等待的时间不超过10分钟”的概率为60501()606PA例1某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.168/46例2.取一个边长为2a的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.2a事件A,记“豆子落在圆内”为:解.4π豆子落入圆内的概率为答4π4aπa正方形面积圆的面积P(A)22：9/46例3.两根相距8m的木杆上系一根拉直绳子,并在绳子上挂一盏灯,求灯与两端距离都大于3m的概率.解：记“灯与两端距离都大于3m”为事件A，4182A)事件A发生的概率P(由于绳长8m，当挂灯位置介于中间2m时，事件A发生，于是10/46例4.在1L高产小麦种子中混入了一些带麦锈病的种子,从中随机取出10mL,含有麦锈病种子的概率是多少?这一事件记为A.则其中“含有病种子”取出10ml麦种,:解.1001为含有麦锈病种子的概率:答1001100010所有种子的体积取出种子的体积P(A)11/46练一练:1.如右图,假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆,分别计算它落到阴影部分的概率.12/462.在墙上挂着一块边长为16cm的正方形木板，上面画了小、中、大三个同心圆，半径分别为2cm，4cm，6cm，某人站在3m之外向此板投镖，设投镖击中线上或没有投中木板时都不算，可重投，问：①投中大圆的概率是多少？②投中小圆与中圆形成的圆环的概率是多少？③投中大圆之外的概率是多少？练一练:13/4614/46[0,1]区间上均匀随机数的产生用计算器产生均匀随机数的方法：随计算器的品种与型号的不同而不同，需要查看相关的计算器的使用说明．1.在选定的起始单元格内键入“=rand()”2.拖动单元格右下端的手柄到需要的单元格，直到我们需要的个数为止．用Excel软件产生均匀随机数的方法：15/46均匀随机数的产生•计算器•EXCEL软件内的rand()产生[0,1]内的均匀随机数x问题1:如何产生[1,2]的随机数?问题2:如何产生[0,2]的随机数?问题3:如何产生[-1,1]的随机数?问题4:如何产生[a,b]的随机数?aabxx)('16/46需要注意的问题rand()产生的是[0,1]上的任意实数，而randbetween产生的是从整数到整数的取整数值的随机数．),(baab以上两种方法不能直接产生上的均匀随机数，只能通过平移或伸缩变换得到：即如是上的均匀随机数，则就是上的均匀随机数．xxaba)(],[ba],[ba],[ba17/46例1.假如你家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30-7：30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间是在早上7：00-8：00，问你父亲在离开家前能得到报纸（称为事件A）的概率是多少？分析：我们有两种方法计算该事件的概率：(1)利用几何概型的公式；(2)用随机模拟的方法．解：方法一（几何概型法）设送报人送报纸的时间为，父亲离家的时间为，由题义可得父亲要想得到报纸，则与应该满足的条件为：xyxy想一想：你能设计一个随机模拟的方法来求它的概率吗？18/46xyy877.5x6.5画出图像如右图所示，y=x父亲离家时间y报纸送到时间x8：007：007：306：30HGFEDCO由题义可得符合几何概型的条件，所以由几何概型的知识可得：22230602()0.87560CDEFGCDHGSpAS19/46方法二：（随机模拟法）()7()5.6randyrandx解：设x是报纸送到时间，y是父亲离家时间，则用[0，1]区间上的均匀随机数可以表示为：设随机模拟的试验次数为a，其中父亲得到报纸的次数为n（即为满足y≥x的试验次数），则由古典概型的知识可得，可以由频率近似的代替概率，所以有：p(A)=n/a22/46想一想：你能设计一个随机模拟的方法来估计圆的面积吗？例2：在如右图所示的正方形盘子中随机的撒一把豆子，计算落在圆中得豆子数与落在正方形中的豆子数之比并依此估计圆周率的值。分析1：由于每个豆子落在正方形内任何一点是等可能的，所以每个区域中的豆子数近似的与该区域的面积成正比，即有：23/46假设正方形的边长为2，则有：.422正方形的面积圆的面积由于落在每个区域中的豆子数是可以数出来的，所以,4落在正方形中的豆子数落在圆中的豆子数这样就得到了的近似值。落在正方形中得豆子数落在圆中的豆子数正方形的面积圆的面积24/46分析2：我们还可以用计算机模拟上述过程,步骤如下：(2)经过平移和伸缩变换得到：;2*)5.0(,2*)5.0(11bbaa(3)构造点，求出满足的点的个数的个数，则可得：),(baM122ba),(baMm(1)产生两组各个0~1区间的均匀随机数.21,aan.4nm25/46例3：利用随机模拟方法计算右图中阴影部分（由和所围成的部分）的面积．1y2xy(3)数出落在阴影内的样本点数，用几何概型公式计算阴影部分的面积为：m(2)进行平移和伸缩变换：;2*)5.0(1aa(1)利用计算机产生两组0~1区间的均匀随机数：();(),1randbranda做题步骤如下：nms226/46•1.古典概型与几何概型的区别.相同：两者基本事件的发生都是等可能的；不同：古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个.•2.几何概型的概率公式..、体积)D的测度(长度、面积、体积)d的测度(长度、面积P(A)•3.几何概型问题的概率的求解.27/4628/461.在区间［1,3］上任取一数,则这个数大于1.5的概率为()A.0.25B.0.5C.0.6D.0.75解析因为在［1,3］上任取一数是随机的,故这个数大于1.5的概率.432015135.13PD29/462.如图所示,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域,在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率为则阴影区域的面积为()A.B.C.D.无法计算解析由几何概型知,343832.38232,322阴正方形阴故SSSB,3230/463.某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的,则他候车时间不超过3分钟的概率是()A.B.C.D.解析此题可以看成向区间［0,5］内均匀投点,而且点落入［0,3］内的概率设为A={某乘客候车时间不超过3分钟}.则P(A)=53545251.53区域长度试验的全部结果构成的的区域长度构成事件AA31/464.如图所示,A是圆上固定的一点,在圆上其它位置任取一点A′,连接AA′,它是一条弦,它的长度大于等于半径长度的概率为()A.B.C.D.2132412332/46解析如图所示,当AA′长度等于半径时,A′位于B或C点,此时∠BOC=120°,则优弧∴满足条件的概率为答案B,π34RBC.ππ32234RRP33/465.如图所示,在直角坐标系内,射线OT落在30°角的终边上,任作一条射线OA,则射线OA落在∠yOT内的概率为_____.解析如题图,因为射线OA在坐标系内是等可能分布的,则OA落在∠yOT内的概率为61.613606034/46题型四可化为几何概型的概率问题【例1】已知函数f(x)=x2-2ax+b2,a,b∈R.(1)若a从集合{0,1,2,3}中任取一个元素,b从集合{0,1,2}中任取一个元素,求方程f(x)=0有两个不相等实根的概率；(2)若a从区间[0,2]中任取一个数,b从区间[0,3]中任取一个数,求方程f(x)=0没有实根的概率.解(1)∵a取集合{0,1,2,3}中任一个元素,b取集合{0,1,2}中任一个元素,35/46∴a,b的取值的情况有(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第一个数表示a的取值,第二个数表示b的取值,即基本事件总数为12.设“方程f(x)=0有两个不相等的实根”为事件A,当a≥0,b≥0时,方程f(x)=0有两个不相等实根的条件为ab.当ab时,a,b取值的情况有(1,0),(2,0),(2,1),(3,0),(3,1),(3,2),即A包含的基本事件数为6,∴方程f(x)=0有两个不相等实根的概率.21126)(AP36/46(2)∵a从区间[0,2]中任取一个数,b从区间[0,3]中任取一个数,则试验的全部结果构成区域={(a,b)|0≤a≤2,0≤b≤3},这是一个矩形区域,其面积设“方程f(x)=0没有实根”为事件B,则事件B所构成的区域为M={(a,b)|0≤a≤2,0≤b≤3,ab},即图中阴影部分的梯形,其面积由几何概型的概率计算公式可得方程f(x)=0没有实根的概率.632ΩS.422216MS.3264)(ΩMSSBPΩ37/46一、选择题1.在长为12cm的线段AB上任取一点M,并以线段AM为边作正方形,则这个正方形的面积介于36cm2与81cm2之间的概率为()A.B.C.D.解析面积为36cm2时,边长AM=6,面积为81cm2时,边长AM=9,4131274154.411231269PA定时检测38/462.在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P,则△PBC的面积大于的概率是()A.B.C.D.解析由△ABC,△PBC有公共底边BC,所以只需P位于线段BA靠近B的四分之一分点E与A之间,这是一个几何概型,4S41214332.43ABAEPC39/463.(2009·辽宁)ABCD为长方形,AB=2,BC=1,O为AB的中点,在长方形ABCD内随机取一点,取到的点到O的距离大于1的概率为()A.B.C.D.解析如图,要使图中点到O的距离大于1,则该点需取在图中阴影部分,故概率为4π.4π122π2P4π18π8π1B40/464.(2009·山东)在区间上随机取一个数x,cosx的值介于0到之间的概率为()A.B.C.D.解析]2π,2π[π2312132.πππ,]π,π[,π),π,π()π,π(cos],π,π[313223233221022Pxxx由几何概型知的长度为又已知区间其区间长度为A2141/46二、填空题5.(2008·江苏)在平面直角坐标系xOy中,设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E是到原