2018版高中数学-第一章-立体几何初步-1.2.1-平面的基本性质与推论-新人教B版必修2

阶段一阶段二阶段三学业分层测评1.2点、线、面之间的位置关系1.2.1平面的基本性质与推论1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法.(难点)2.掌握平面的基本性质及推论，能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系.(重点)3.能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，并能解决空间线面的位置关系问题.(难点)[基础·初探]教材整理1平面阅读教材P35的内容，完成下列问题.1.平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的.几何里的平面是的.无限延展2.平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个，它的锐角通常画成，且横边长等于其邻边长的.如图1­2­1①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用画出来.如图1­2­1②.①②图1­2­1平行四边形45°2倍虚线3.平面的表示法上图中图①的平面可表示为、、或.平面α平面ABCD平面AC平面BD下列说法正确的是()A.生活中的几何体都是由平面组成的B.平面无厚薄，但有边界线C.任何一个平面图形都是一个平面D.平面多边形和圆都可以表示平面【解析】由平面的特性是无限延展性知，选项A、B错误；平面图形和平面是两个完全不同的概念，平面图形是有大小的，不能无限延展，选项C错误；选项D正确.【答案】D教材整理2平面的基本性质及推论阅读教材P35～P37“思考”以上的内容，完成下列问题.公理内容图形符号基本性质1如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线在此平面内，，且，⇒l⊂α两点A∈lB∈lA∈αB∈α基本性质2过的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α基本性质3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条，⇒α∩β＝l，且P∈l不在一条直线上过该点的公共直线P∈αP∈β图1­2­2推论1经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面(图1­2­2①).推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面(图1­2­2②).推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面(图1­2­2③).判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)三点可以确定一个平面.()(2)一条直线和一个点可以确定一个平面.()(3)四边形是平面图形.()(4)两条相交直线可以确定一个平面.()【解析】(1)错误.不共线的三点可以确定一个平面.(2)错误.一条直线和直线外一个点可以确定一个平面.(3)错误.四边形不一定是平面图形.(4)正确.两条相交直线可以确定一个平面.【答案】(1)×(2)×(3)×(4)√教材整理3共面与异面直线阅读教材P37～P38“练习”以上内容，完成下列问题.1.异面直线(1)定义：把不同在平面内的两条直线叫做异面直线.(2)画法：(通常用平面衬托)图1­2­3任何一个2.空间两条直线的位置关系共面直线：同一平面内，有且只有一个公共点.：同一平面内，没有公共点.：不同在任何一个平面内，没有公共点.相交直线平行直线异面直线判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两条直线无公共点，则这两条直线平行.()(2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行.()(3)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线.()(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线.()【解析】(1)错误.空间两直线无公共点，则可能平行，也可能异面.(2)正确.因空间两条不重合的直线的位置关系只有三种：平行、相交或异面.(3)错误.过平面外一点与平面内一点的连线，和平面内过该点的直线是相交直线.(4)错误.和两条异面直线都相交的两直线也可能是相交直线.【答案】(1)×(2)√(3)×(4)×[小组合作型]文字语言、图形语言、符号语言的相互转化根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形：(1)A∈α，B∉α；(2)l⊂α，m⊄α，m∩α＝A，A∉l；(3)P∈l，P∉α，Q∈l，Q∈α.【精彩点拨】解答本题要正确理解立体几何中表示点、线、面之间位置关系的符号“∈”，“∉”，“⊂”，“⊄”，“∩”的意义，在此基础上，由已知给出的符号表示语句，写出相应的点、线、面的位置关系，画出图形.【自主解答】(1)点A在平面α内，点B不在平面α内；(2)直线l在平面α内，直线m与平面α相交于点A，且点A不在直线l上；(3)直线l经过平面α外一点P和平面α内一点Q.图形分别如图(1)，(2)，(3)所示.图(1)图(2)图(3)1.用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.2.要注意符号语言的意义.如点与直线的位置关系只能用“∈”或“∉”表示，直线与平面的位置关系只能用“⊂”或“⊄”表示.3.由符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.[再练一题]1.根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系.图1­2­4(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.【解】(1)点P∈直线AB；(2)点C∉直线AB；(3)点M∈平面AC；(4)点A1∉平面AC；(5)直线AB∩直线BC＝点B；(6)直线AB⊂平面AC；(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.XXX点、线共面问题已知四条直线两两相交，且不共点，求证：这四条直线在同一平面内.【导学号：45722037】【精彩点拨】四条直线两两相交且不共点，可能有两种情况：一是有三条直线共点；二是任意三条直线都不共点，故要分两种情况.【自主解答】已知：a，b，c，d四条直线两两相交，且不共点，求证：a，b，c，d四线共面.证明：(1)若a，b，c三线共点于O，如图所示，∵O∉d，∴经过d与点O有且只有一个平面α.∵A、B、C分别是d与a、b、c的交点，∴A、B、C三点在平面α内.由公理1知a、b、c都在平面α内，故a、b、c、d共面.(2)若a、b、c、d无三线共点，如图所示，∵a∩b＝A，∴经过a、b有且仅有一个平面α，∴B、C∈α.由公理1知c⊂α.同理，d⊂α，从而有a、b、c、d共面.综上所述，四条直线两两相交，且不共点，这四条直线在同一平面内.证明点线共面常用的方法1.纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内.2.重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线在另一个平面内，再证明两个平面重合.[再练一题]2.一条直线与三条平行直线都相交，求证：这四条直线共面.【解】已知：a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a，b，c，l共面.证明：法一∵a∥b，∴a，b确定一个平面α，∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α，故l⊂α.又∵a∥c，∴a，c确定一个平面β.同理可证l⊂β，∴α∩β＝a且α∩β＝l.∵过两条相交直线a、l有且只有一个平面，故α与β重合，即直线a，b，c，l共面.法二由法一得a、b、l共面α，也就是说b在a、l确定的平面α内.同理可证c在a、l确定的平面α内.∵过a和l只能确定一个平面，∴a，b，c，l共面.空间两直线位置关系的判定如图1­2­5，正方体ABCD­A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：图1­2­5①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；④直线AB与直线B1C的位置关系是________.【精彩点拨】判断两直线的位置关系，主要依据定义判断.【自主解答】根据题目条件知直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中，且没有交点，则两直线“平行”，所以①应该填“平行”；点A1、B、B1在一个平面A1BB1内，而C不在平面A1BB1内，则直线A1B与直线B1C“异面”.同理，直线AB与直线B1C“异面”.所以②④都应该填“异面”；直线D1D与直线D1C相交于D1点，所以③应该填“相交”.【答案】①平行②异面③相交④异面1.判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断.2.判定两条直线是异面直线有定义法和排除法，由于使用定义判断不方便，故常用排除法，即说明这两条直线不平行、不相交，则它们异面.[再练一题]3.若a、b是异面直线，b、c是异面直线，则()A.a∥cB.a、c是异面直线C.a、c相交D.a、c平行或相交或异面【解析】若a、b是异面直线，b、c是异面直线，那么a、c可以平行，可以相交，可以异面.【答案】D[探究共研型]点共线与线共点问题探究1如图1­2­6，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E.能否判断点E在平面A1BCD1内？图1­2­6【提示】如图，连接BD1，∵A1C∩平面ABC1D1＝E，∴E∈A1C，E∈平面ABC1D1.∵A1C⊂平面A1BCD1，∴E∈平面A1BCD1.探究2上述问题中，你能证明B，E，D1三点共线吗？【提示】由于平面A1BCD1与平面ABC1D1交于直线BD1，又E∈BD1，根据公理3可知B，E，D1三点共线.如图1­2­7，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点M，N，E，F分别是棱CD，AB，DD1，AA1上的点，若MN与EF交于点Q，求证：D，A，Q三点共线.图1­2­7【精彩点拨】欲证D、A、Q三点共线，只需说明三点均在平面AD1和平面AC的交线DA上即可.【自主解答】∵MN∩EF＝Q，∴Q∈直线MN，Q∈直线EF，又∵M∈直线CD，N∈直线AB，CD⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD.∴M、N∈平面ABCD，∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD.同理，可得EF⊂平面ADD1A1.∴Q∈平面ADD1A1，又∵平面ABCD∩平面ADD1A1＝AD，∴Q∈直线AD，即D，A，Q三点共线.点共线与线共点的证明思路1.点共线的思路：证明这些点都分别在两个相交的平面内，因此也在两个平面的交线上.2.线共点的思路：先由两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上.[再练一题]4.如图1­2­8，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.图1­2­8求证：E，F，G，H四点必定共线.【证明】∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面β，又∵AB∩α＝E，AB⊂β，∴E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点.同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，∵两个平面有公共点，它们有且只有一条通过公共点的公共直线，∴E，F，G，H四点必定共线.1.一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是()A.平行或异面B.相交或异面C.异面D.相交【解析】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.【答案】B2.下列说法中正确的个数为()①三角形一定是平面图形；②若四边形的两对角线相交于一点，则该四边形是平面图形；③圆心和圆上两点可确定一个平面；④三条平行线最多可确定三个平面.A.1B.2C.3D.4【解析】圆上两点为直径端点时，它们与圆心共线，此时这三个点不能确定平面，故③不正确，①②④正确，故选C.【答案】C3.设平面α与平面β交于直线l，A∈α，B∈α，且直线AB∩l＝C，则直线AB∩β＝________.【导学号：45722038】【解析】∵α∩β＝l，AB∩l＝C，∴C∈β，C∈AB，∴AB∩β＝C.【答案】C4.有以下三个说法：①平面外的一条直线与这个平面最多有一个公共点；②直线l在平面α内，可以用符号“l∈α”表示；③已知平面α与β不重合，若平面α内的一条直线a与平面β内的一条直线b相交，则α与β相交.其中正确的序号是________.【解析】若直线与平面有两个公共点，则这条直线一定在这个平面内，故①正确；直线l在平面α内用符号“⊂”表示，即l⊂α，②