5.1 线性规划及其单纯形求解方法

第5章线性规划方法线性规划及其单纯形求解方法线性规划的对偶理论运输问题的求解方法:表上作业法线性规划是运筹学中发展较快、应用较广和比较成熟的一个分支。它在实际应用中日益广泛与深入,已经被广泛地应用到工业、农业、商业与交通运输规划，工程技术的优化设计，以及企业管理等各个领域。在地理学领域，线性规划，作为传统的计量地理学方法之一，是解决有关规划、决策和系统优化问题的重要手段。线性规划的数学模型线性规划的标准形式及方法线性规划的解及其性质线性规划问题的求解方法——单纯形法应用实例:农场种植计划模型第1节线性规划及其单纯形求解方法（一）线性规划模型之实例线性规划研究的两类问题：某项任务确定后，如何统筹安排，以最少的人力、物力和财力去完成该项任务；面对一定数量的人力、物力和财力资源，如何安排使用，使得完成的任务最多。它们都属于最优规划的范畴。以下为一些实例。一、线性规划的数学模型运输问题假设某种物资（譬如煤炭、钢铁、石油等）有m个产地，n个销地。第i产地的产量为ai（i=1，2，…，m），第j销地的需求量为bj(j=1,2，…，n)，它们满足产销平衡条件。如果产地i到销地j的单位物资的运费为Cij，要使总运费达到最小，可这样安排物资的调运计划：minjjiba11设xij表示由产地i供给销地j的物资数量，则上述问题可以表述为：求一组实值变量xij(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)，使其满足而且使),,2,1;,,2,1(0),,2,1(),,2,1(11njmixmiaxnjbxijnjiijmijijminjijijxcz11min资源利用问题假设某地区拥有m种资源，其中，第i种资源在规划期内的限额为bi(i=1，2，…，m)。这m种资源可用来生产n种产品，其中，生产单位数量的第j种产品需要消耗的第i种资源的数量为aij(i=1，2，…，m；j=1,2,…,n)，第j种产品的单价为cj(j=1，2，…，n)。试问如何安排这几种产品的生产计划，才能使规划期内资源利用的总产值达到最大?设第j种产品的生产数量为xj(j=1，2，…，n)，则上述资源问题就是：求一组实数变量xj(j=1，2，…，n)，使其满足),,2,1(0),,2,1(1njxmibxajnjijijnjjjxcZ1max合理下料问题用某种原材料切割零件A1，A2,…,Am的毛坯，现已设计出在一块原材料上有B1，B2，…，Bn种不同的下料方式，如用Bj下料方式可得Ai种零件aij个，设Ai种零件的需要量为bi个。试问应该怎样组织下料活动，才能使得既满足需要，又节约原材料？设采用Bj方式下料的原材料数为xj，则上述问题可表示为：求一组整数变量xj(j=1，2，…，n)，使得),,2,1(0),,2,1(1njxmibxajnjijijnjjxZ1min（二）线性规划的数学模型以上例子表明，线性规划问题具有以下特征：①每一个问题都用一组未知变量（x1，x2，…，xn）表示某一规划方案，其一组定值代表一个具体的方案，而且通常要求这些未知变量的取值是非负的。②每一个问题的组成部分：一是目标函数，按照研究问题的不同，常常要求目标函数取最大或最小值；二是约束条件，它定义了一种求解范围，使问题的解必须在这一范围之内。③每一个问题的目标函数和约束条件都是线性的。由此可以抽象出线性规划问题的数学模型，一般形式为：在线性约束条件njijijmibxa1),,2,1(),(以及非负约束条件xj≥0（j=1，2，…，n）下，求一组未知变量xj(j=1，2，…，n)的值，使njjjxcZ1(min)max采用矩阵形式可描述为：在约束条件AX≤(≥，＝)bX≥0下，求未知向量，使得Z=CX→max(min)其中],,,[],,,[2121nTmcccCbbbbmnmmnnaaaaaaaaaA212222111211TnxxxX],,,[21二、线性规划的标准形式及方法(一）线性规划的标准形式在讨论与计算时，需要将线性规划问题的数学模型转化为标准形式，即在约束条件mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111xj≥0（j=1，2，…，n）下，求一组未知变量xj（j=1，2，…，n）的值，使njjjxcZ1max其缩写形式为：在约束条件njijijmibxa1),,2,1(x≥0（j=1，2，…，n）下，求一组未知变量（j=1，2，…，n）的值，使得常记为如下更为紧凑的形式njjjxcZ1max),2,1(0),,2,1(max11njxmibxaxcZjnjijijnjjj或0XbAXCXZmax（二）化为标准形式的方法具体的线性规划问题，需要对目标函数或约束条件进行转换，化为标准形式。目标函数化为标准形式的方法如果其线性规划问题的目标函数为minZ=CX显然有minZ=max(-Z)=maxZ′则目标函数的标准形式为maxZˊ=-CXknknkkbxaxaxa)(2211kknnknkkbxxaxaxa)(2211约束方程化为标准形式的方法若第k个约束方程为不等式，即引入松弛变量,K个方程改写为则目标函数标准形式为0knxnjnjknjjjjxoxcxcZ11三、线性规划的解及其性质(一)线性规划的解可行解与最优解满足约束条件（即满足线性约束和非负约束）的一组变量为可行解。所有可行解组成的集合称为可行域。使目标函数最大或最小化的可行解称为最优解。基本解与基本可行解在线性规划问题中，将约束方程组的m×n阶矩阵A写成由n个列向量组成的分块矩阵],,,[21npppA),,2,1(],,,[21njaaaPTmjjjj如果B是A中的一个阶的非奇异子阵，则称B为该线性规划问题的一个基。不失一般性，不妨设则称为基向量，与基向量相对应的向量为基变量，而其余的变量为非基变量。],,,[21212222111211mmmmmmmPPPaaaaaaaaaB),,2,1(mjPj),,2,1(mjxj),,2,1(nmmjxi如果是方程组的解,则就是方程组的一个解，它称之为对应于基B的基本解，简称基解。满足非负约束条件的基本解，称为基本可行解。对应于基本可行解的基，称为可行基。TmBxxxX],,,[21bBXBTmxxxX]0,,0,0,,,,[21CXZmax线性规划问题的以上几个解的关系，可用下图来描述：(二)线性规划解的性质凸集和顶点①凸集：若连接n维点集S中的任意两点X(1)和X(2)之间的线段仍在S中，则S为凸集。②顶点：若凸集S中的点X(0)不能成为S中任何线段的内点，则称X(0)为S的顶点或极点。线性规划解的性质①线性规划问题的可行解集（可行域）为凸集。②可行解集S中的点X是顶点的充要条件是基本可行解。③若可行解集有界，则线性规划问题的最优值一定可以在其顶点上达到。因此线性规划的最优解只需从其可行解集的有限个顶点中去寻找。四、线性规划问题的求解方法——单纯形法（一）单纯形表根据以上讨论，令则基变量，非基变量，则有变形得],,,[21nmmpppN],[NBATmBxxxx],,,[21TnmmNxxxx],,,[21bNXBXNBNBNXBbBX11相应地，记目标函数记为则对应于基B的基本解为],,,[21mBcccC],,,[21nmmNcccC],[NBCCCNBNBXNBCCbBCZ)(11bBXB10NX最优解的判定当时，则由目标函数式可看出：对应于B的基本可行解为最优解，这时，B也被称为最优基。由于与等价，故可得。最优解的判定定理对于基B，若，且,则对应于基B的基本解为最优解，B为最优基。01NBCCBN01NBCCBN01ABCCB01bB01ABCCBbBbBCXZABABCCBB111101在上式中，称系数矩阵为对应于基B的单纯形表，记为T(B)。ABbBABCCbBCBB111101ABbBABCCbBCBB1111或对目标函数与约束不等式运用矩阵变形得001bbBCB],,,[002011nBbbbABCCTmbbbbB],,,[020101如果记mnmmnnbbbbbbbbbAB2122221112111以及mnmmmnnnbbbbbbbbbbbbbbbbBT210222212011211100020100)(则(二)单纯形法的计算步骤第1步，找出初始可行基，建立初始单纯形表。第2步，判别检验所有的检验系数（1）如果所有的检验系数,则由最优性判定定理知，已获最优解，即此时的基本可行解就是最优解。（2）若检验系数中，有些为正数，但其中某一正的检验系数所对应的列向量的各分量均非正，则线性规划问题无解。（3）若检验系数中，有些为正数，且它们所对应的列向量中有正的分量，则需要换基、进行迭代运算。),,2,1(00njbj第3步，选主元。在所有大于零的检验数中选取最大的一个b0s，对应的非基变量为xs，对应的列向量为若则确定brs为主元项。第4步，在基B中调进Ps，换出Pjr，得到一个新的基第5步，在单纯形表上进行初等行变换，使第s列向量变为单位向量，又得一张新的单纯形表。第6步，转入上述第2步。Tmssssbbbp],,,[21rsrisisibbbbb000min],,,,,,,[1121mrrjjsjjjpPPPPPB例1：用单纯形方法求解线性规划问题2121212132max0,092123xxZxxxxxx解：首先引入松弛变量，把原问题化为标准形式43,xx21432142132132max0,,,92123xxZxxxxxxxxxx具体步骤如下：第1步，确定初始单纯形表5.1.1。x1x2x3x4-z02300x3121310x492101第2步，判别。在初始单纯形表中b01=2,b02=3，所以B1不是最优基，进行换基迭代。第3步，选主元。根据选主元法则，确定主元项。第4步，换基，得一新基。312b],[422ppB表5.1.1第5步，进行初等行变换，得B2下的新单纯形表x1x2x3x4-z-1210-10x241/311/30x455/30-1/31第6步，因检验系数有正数b01=1，重复以上步骤可得对应于B3=[p2,p3]的单纯形表，检验各检验数可知得最优解X1=3,X2=3,X3=0,X4=0:目标函数最大值为Z=15。x1x2x3x4-z-1500-4/5-3/5x23012/5-1/5x1310-1/53/5表5.1.2表5.1.3五、应用实例:农场种植计划模型某农场I、II、III等耕地的面积分别为100hm2、300hm2和200hm2，计划种植水稻、大豆和玉米，要求3种作物的最低收获量分别为190000kg、130000kg和350000kg。I、II、III等耕地种植3种作物的单产如表5.1.4所示。若3种作物的售价分别为水稻1.20元/kg，大豆1.50元/kg，玉米0.80元/kg。那么，（1）如何制订种植计划，才能使总产量最大？（2）如何制订种植计划，才能使总产值最