一次函数和几何图形综合专题

一次函数与几何图形综合专题思想方法小结：（1）函数方法．函数方法就是用运动、变化的观点来分析题中的数量关系，抽象、升华为函数的模型，进而解决有关问题的方法．函数的实质是研究两个变量之间的对应关系，灵活运用函数方法可以解决许多数学问题．（2）数形结合法．数形结合法是指将数与形结合，分析、研究、解决问题的一种思想方法，数形结合法在解决与函数有关的问题时，能起到事半功倍的作用．知识规律小结：（1）常数k，b对直线y=kx+b(k≠0）位置的影响．①当b＞0时，直线与y轴的正半轴相交；当b=0时，直线经过原点；当b﹤0时，直线与y轴的负半轴相交．②当k，b异号时，即-kb＞0时，直线与x轴正半轴相交；当b=0时，即-kb=0时，直线经过原点；当k，b同号时，即-kb﹤0时，直线与x轴负半轴相交．③当k＞O，b＞O时，图象经过第一、二、三象限；当k＞0，b=0时，图象经过第一、三象限；当b＞O，b＜O时，图象经过第一、三、四象限；当k﹤O，b＞0时，图象经过第一、二、四象限；当k﹤O，b=0时，图象经过第二、四象限；当b＜O，b＜O时，图象经过第二、三、四象限．（2）直线y=kx+b（k≠0）与直线y=kx(k≠0)的位置关系．直线y=kx+b(k≠0)平行于直线y=kx(k≠0)当b＞0时，把直线y=kx向上平移b个单位，可得直线y=kx+b；当b﹤O时，把直线y=kx向下平移|b|个单位，可得直线y=kx+b．（3）直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2（k1≠0，k2≠0）的位置关系．①k1≠k2y1与y2相交；②2121bbkky1与y2相交于y轴上同一点（0，b1）或（0，b2）；③2121,bbkky1与y2平行；④2121,bbkky1与y2重合.例题精讲：1、直线y=-2x+2与x轴、y轴交于A、B两点，C在y轴的负半轴上，且OC=OB(1)求AC的解析式；(2)在OA的延长线上任取一点P,作PQ⊥BP,交直线AC于Q,试探究BP与PQ的数量关系，并证明你的结论。(3)在（2）的前提下，作PM⊥AC于M,BP交AC于N,下面两个结论：①(MQ+AC)/PM的值不变；②(MQ-AC)/PM的值不变，期中只有一个正确结论，请选择并加以证明。2．如图①所示，直线L：5ymxm与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点。(1)当OA=OB时，试确定直线L的解析式；(2)在(1)的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AM⊥OQ于M，BN⊥OQ于N，若AM=4，BN=3，求MN的长。(3)当m取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角△OBF和等腰直角△ABE，连EF交y轴于P点，如图③。xyoBACPQMxyoBACPQ第2题图①第2题图②问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由。考点：一次函数综合题；直角三角形全等的判定．专题：代数几何综合题．分析：（1）是求直线解析式的运用，会把点的坐标转化为线段的长度；（2）由OA=OB得到启发，证明∴△AMO≌△ONB，用对应线段相等求长度；（3）通过两次全等，寻找相等线段，并进行转化，求PB的长．解答：解：（1）∵直线L：y=mx+5m，∴A（-5，0），B（0，5m），由OA=OB得5m=5，m=1，∴直线解析式为：y=x+5．（2）在△AMO和△OBN中OA=OB，∠OAM=∠BON，∠AMO=∠BNO，∴△AMO≌△ONB．∴AM=ON=4，∴BN=OM=3．（3）如图，作EK⊥y轴于K点．先证△ABO≌△BEK，∴OA=BK，EK=OB．再证△PBF≌△PKE，∴PK=PB．∴PB=21BK=21OA=25．点评：本题重点考查了直角坐标系里的全等关系，充分运用坐标系里的垂直关系证明全等，本题也涉及一次函数图象的实际应用问题．3、如图，直线1l与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线2l与直线1l关于x轴对称，已知直线1l的解析式为3yx，（1）求直线2l的解析式；（3分）（2）过A点在△ABC的外部作一条直线3l，过点B作BE⊥3l于E,过点C作CF⊥3l于F分别，请画出图形并求证：BE＋CF＝EF（3）△ABC沿y轴向下平移，AB边交x轴于点P，过P点的直线与AC边的延长线相交于点Q，与y轴相交与点M，且BP＝CQ，在△ABC平移的过程中，①OM为定值；②MC为定值。在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值。（6分）第2题图③考点：轴对称的性质；全等三角形的判定与性质．分析：（1）根据题意先求直线l1与x轴、y轴的交点A、B的坐标，再根据轴对称的性质求直线l2的上点C的坐标，用待定系数法求直线l2的解析式；（2）根据题意结合轴对称的性质，先证明△BEA≌△AFC，再根据全等三角形的性质，结合图形证明BE+CF=EF；（3）首先过Q点作QH⊥y轴于H，证明△QCH≌△PBO，然后根据全等三角形的性质和△QHM≌△POM，从而得HM=OM，根据线段的和差进行计算OM的值．解答：解：（1）∵直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点，∴A（-3，0），B（0，3），∵直线l2与直线l1关于x轴对称，∴C（0，-3）∴直线l2的解析式为：y=-x-3；（2）如图1．答：BE+CF=EF．∵直线l2与直线l1关于x轴对称，∴AB=BC，∠EBA=∠FAC，∵BE⊥l3，CF⊥l3∴∠BEA=∠AFC=90°∴△BEA≌△AFC∴BE=AF，EA=FC，∴BE+CF=AF+EA=EF；（3）①对，OM=3过Q点作QH⊥y轴于H，直线l2与直线l1关于x轴对称∵∠POB=∠QHC=90°，BP=CQ，又AB=AC，∴∠CBAl2l10xyCBA0xyQMPCBA0xyABO=∠ACB=∠HCQ，则△QCH≌△PBO（AAS），∴QH=PO=OB=CH∴△QHM≌△POM∴HM=OM∴OM=BC-（OB+CM）=BC-（CH+CM）=BC-OM∴OM=21BC=3．点评：轴对称的性质：对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．4.如图，在平面直角坐标系中，A(a，0)，B(0，b)，且a、b满足.(1)求直线AB的解析式；(2)若点M为直线y=mx上一点，且△ABM是以AB为底的等腰直角三角形，求m值；(3)过A点的直线交y轴于负半轴于P，N点的横坐标为-1，过N点的直线交AP于点M，试证明的值为定值．考点：一次函数综合题；二次根式的性质与化简；一次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求正比例函数解析式；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：计算题．分析：（1）求出a、b的值得到A、B的坐标，设直线AB的解析式是y=kx+b，代入得到方程组，求出即可；（2）当BM⊥BA，且BM=BA时，过M作MN⊥Y轴于N，证△BMN≌△ABO（AAS），求出M的坐标即可；②当AM⊥BA，且AM=BA时，过M作MN⊥X轴于N，同法求出M的坐标；③当AM⊥BM，且AM=BM时，过M作MN⊥X轴于N，MH⊥Y轴于H，证△BHM≌△AMN，求出M的坐标即可．（3）设NM与x轴的交点为H，分别过M、H作x轴的垂线垂足为G，HD交MP于D点，求出H、G的坐标，证△AMG≌△ADH，△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC，推出PN=PD=AD=AM代入即可求出答案．解答：解：（1）要使b=有意义，必须（a-2）2=0，4-b=0，∴a=2，b=4，∴A（2，0），B（0，4），设直线AB的解析式是y=kx+b，代入得：0=2k+b，4=b，解得：k=-2，b=4，∴函数解析式为：y=-2x+4，答：直线AB的解析式是y=-2x+4．（2）如图2，分三种情况：①如图（1）当BM⊥BA，且BM=BA时，过M作MN⊥Y轴于N，△BMN≌△ABO（AAS），MN=OB=4，BN=OA=2，∴ON=2+4=6，∴M的坐标为（4，6），代入y=mx得：m=23，②如图（2）当AM⊥BA，且AM=BA时，过M作MN⊥X轴于N，△BOA≌△ANM（AAS），同理求出M的坐标为（6，2），m=31，③当AM⊥BM，且AM=BM时，过M作MN⊥X轴于N，MH⊥Y轴于H，则△BHM≌△AMN，∴MN=MH，设M（x，x）代入y=mx得：x=mx，（2）∴m=1，答：m的值是23或31或1．（3）解：如图3，结论2是正确的且定值为2，设NM与x轴的交点为H，分别过M、H作x轴的垂线垂足为G，HD交MP于D点，由y=2kx-2k与x轴交于H点，∴H（1，0），由y=2kx-2k与y=kx-2k交于M点，∴M（3，K），而A（2，0），∴A为HG的中点，∴△AMG≌△ADH（ASA），又因为N点的横坐标为-1，且在y=2kx-2k上，∴可得N的纵坐标为-K，同理P的纵坐标为-2K，∴ND平行于x轴且N、D的横坐标分别为-1、1∴N与D关于y轴对称，∵△AMG≌△ADH≌△DPC≌△NPC，∴PN=PD=AD=AM，∴AMPN-PM=2．点评：本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，等腰直角三角形性质，用待定系数法求正比例函数的解析式，全等三角形的性质和判定，二次根式的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．5.如图，直线AB：y=-x-b分别与x、y轴交于A（6，0）、B两点，过点B的直线交x轴负半轴于C，且OB：OC=3：1。（1）求直线BC的解析式：（2）直线EF：y=kx-k（k≠0）交AB于E，交BC于点F，交x轴于D，是否存在这样的直线EF，使得S△EBD=S△FBD？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由？（3）如图，P为A点右侧x轴上的一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角△BPQ，连接QA并延长交ｙ轴于点K，当P点运动时，K点的位置是否发现变化？若不变，请求出它的坐标；如果变化，请说明理由。考点：一次函数综合题；一次函数的定义；正比例函数的图象；待定系数法求一次函数解析式．专题：计算题．分析：代入点的坐标求出解析式y=3x+6，利用坐标相等求出k的值，用三角形全等的相等关系求出点的坐标．解答：解：（1）由已知：0=-6-b，∴b=-6，∴AB：y=-x+6．∴B（0，6）∴OB=6∵OB：OC=3：1，OC=3OB=2，∴C（-2，0）设BC的解析式是Y=ax+c，代入得；6=0•a+c,0=-2a+c，解得：a=3,c=6，∴BC：y=3x+6．直线BC的解析式是：y=3x+6；（2）过E、F分别作EM⊥x轴，FN⊥x轴，则∠EMD=∠FND=90°．∵S△EBD=S△FBD，∴DE=DF．又∵∠NDF=∠EDM，∴△NFD≌△EDM，∴FN=ME．联立y=kx-k,y=-x+6得yE=1k5k，联立y=kx-k，y=3x+6得yF=3-k9k．∵FN=-yF，ME=yE，∴1k5k=3-k9k-．∵k≠0，∴5（k-3）=-9（k+1），∴k=73；（3）不变化K（0，-6）．过Q作QH⊥x轴于H，∵△BPQ是等腰直角三角形，∴∠BPQ=90°，PB=PQ，∵∠BOA=∠QHA=90°，∴∠BPO=∠PQH，∴△BOP≌△HPQ，∴PH=BO，OP=QH，∴PH+PO=BO+QH，即OA+AH=BO+QH，又OA=OB，∴AH=QH，∴△AHQ是等腰直角三角形，∴∠QAH=45°，∴∠OAK=45°，∴△AOK为等腰直角三角形，∴OK=OA=6，∴K（0，-6）．点评：此题是一个综合运用的题，关键是正确求解析式和灵活运用解析式去解．6.如图，直线AB交X轴负半轴于B（m，0），交Y轴负半轴于A（0，m），OC⊥AB于C（-2，-2）。（1）求m的值；-4m2CGOGGB,,45OAOBGOBG都是等腰直