最新北师大版九年级数学上册第六章 反比例函数小结与复习.

第六章反比例函数小结与复习北师大版九年级数学上册知识点2确定反比例函数的关系式知识点4反比例函数的性质知识点5反比例函数中比例系数k的几何意义知识点1反比例函数的概念知识点3反比例函数的图像及画法知识点6反比例函数的应用知识点整合知识点整合知识点1反比例函数的概念一般地，形如y=(k为常数，k≠0)的函数叫做反比例函数．其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数.xk（2）判断一个函数是否是反比例函数，关键是看两个变量的乘积是否是一个常数.（1）k、x、y的取值均不为0.（3）只要k确定，则反比例函数关系式就确定.知识点1反比例函数的三种表达形式：）是常数，）是常数，是常数，0()3(0()2()0()1(1kkkxykkxkykkxky知识点2确定反比例函数的关系式1.确定实际问题中的反比例函数关系式关键：认真审题，弄清题意，找出等量关系2.用待定系数法确定反比例函数关系式知识点2知识点3反比例函数的图像及画法反比例函数的图象是双曲线.当k＞0时，双曲线的两支分别在第象限；关于轴对称当k＜0时，双曲线的两支分别在第象限．关于轴对称双曲线的两支关于坐标原点成中心对称.注意：1.用描点法画反比例函数图像时，连线必须是光滑的.2.画实际问题中的反比例函数的图像时，应注意自变量的取值范围，应在自变量的取值范围内画函数图像.知识点3二、四一、三y=-xy=x知识点4反比例函数的性质当k＞0时，双曲线的两支分别在第一、三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，双曲线的两支分别在第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．双曲线不过原点且与两坐标轴永不相交，但无限靠近x轴、y轴.反比例函数的图像既是中心对称图形，又是轴对称图形；对称中心是原点，有两条对称轴.知识点4函数正比例函数反比例函数关系式图象形状K0K0位置增减性位置增减性y=kx(k≠0)(k是常数,k≠0)y=xk直线，经过原点双曲线，与坐标轴无交点一三象限y随x的增大而增大一三象限在每个象限内y随x的增大而减小二四象限二四象限y随x的增大而减小在每个象限内y随x的增大而增大填表分析正比例函数和反比例函数的区别MONPyx)0(kxky知识点5反比例函数中比例系数k的几何意义反比例函数中比例系数k的绝对值的几何意义：如图，过双曲线上任意一点P分别作x轴，y轴的垂线，M、N分别为垂足，则kxyxyPNPMS矩形PMONkxyk知识点5（x，y）的面积。求矩形垂足分别为轴的垂线轴分别作过上任意一点是双曲线设OAPB,,,,,)0(),(BAyxPkxkynmPP(m,n)AoyxBP(m,n)AoyxB面积性质（一）.||||||)(||||knmAPOASnAPmOAOAPB矩形；如图所示，解：的面积。求垂足为轴的垂线作过上任意一点是双曲线设AOP,,,)0(),(AxPkxkynmP|k||n||m|APOAS|n|AP|m|OAΔOAP212121；，P(m,n)AoyxP(m,n)Aoyx面积性质（二）类型一反比例函数的概念类型一：第21练11.若函数是反比例函数，则m2+3m+1=.22(1)mymx5）是常数，0(1kkxky01122mm得m=1类型二确定反比例函数的关系式类型二：第21练2，32.已知y与x+2成反比例，且当x=2时,y=3，当x=-1时y=。121.近视眼镜的度数y度与镜片焦距x米成反比例，已知500度近视眼镜片的焦距为0.2米，则眼镜度数y度与镜片焦距x之间的函数关系式是.)0(100xxy)2(xky提示：设3.已知函数y＝y1＋y2，y1与x成正比例，y2与x成反比例，且当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5．（1）求y与x的函数关系式；（2）当x＝－2时，求函数y的值．思路点拨：本题中，y1与x和y2与x的函数关系中的待定系数不一定相同，故不能都设为k，为了区分，要用不同的字母表示．第21练11待定系数法xky22xkxky2112214,52,2kkkkxxy2222(2)52y解：（1）由题意，设y1＝k1x（k1≠0），（k2≠0），则，当x＝1时，y＝4；当x＝2时，y＝5，得解得k1＝2，k2＝2．（2）当x＝－2时，．∴类型三利用k的几何意义解题类型三：第21练61S阴影，1.如图，点A、B是双曲线上的点，分别经过A、B两点向x轴、y轴作垂线段，若则3yx12SS4分析：由k的几何意义可知S1+S阴影=3，S2+S阴影=3，而S阴影=1，故S1+S2=42.如图，直线y＝mx与双曲线交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连结BM,若=2，则k的值是（）A．2B.－2C.mD.4xkyABMSA第21练10对称性可知S△AOM=S△BOM=1xyOP1P2P3P412343.如图，在反比例函数的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1+S2+S3=.)0(2xxy1.5第22练5S2S31234类型四反比例函数与一次函数综合应用类型四：第21练91.如图一次函数y1＝x－1与反比例函数y2＝的图像交于点A(2,1),B(－1,－2),则使y1＞y2的x的取值范围是()A.x＞2B.x＞2或－1＜x＜0C.－1＜x＜2D.x＞2或x＜－1x2B第21练122.如图，已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点.(1)求此反比例函数和一次函数的解析式；(2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围.解：（1）一次函数的解析式y=-x-2反比例函数解析式xy8042xx或（2）x的取值范围为变形：如图，已知A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数的图象与反比例函数的图象的两个交点.连AO、BO，求S△AOB变形提示：求出直线AB的表达式，并求它出与坐标轴的交点坐标，将△AOB分成两个或三个三角形来求.CD1022214221222-002-24-224-4-2284-8824:CODAOCABCSSSDCxybkxyBnxynxymxmy），（），（可求得）代入，）和（，将（），（，则得）代入，将（，则得）代入，将（解3.如图所示，点A是反比例函数的图象上一点，轴的正半轴于B点，C是OB的中点；一次函数的图象经过A、C两点，并交y轴于点D(0,-2)，若（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）观察图象，请指出在y轴的右侧，当时，x的取值范围．ABx4AODS△．yxCBADO反比例函数与一次函数综合应用12yy第21练14E解：作轴于E∵∴∴AE=4∵为的OB中点，∴∴∴∴A(4,2)将A(4,2)代入中，得k=8将A(4,2)和D(0,-2)代入解得：a=1,b=-2∴AEy42AODSOD△，421AEODABOBC，90DOCABCOCBCOCDBCA∠∠，，∠∠RtRtDOCABC△≌△2ABOD1kyx18yx2yaxb，22yxyxCBADO（2）在y轴的右侧，当时，12yy04x．E1.一张边长为16cm正方形的纸片，剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E”图案如图1所示．小矩形的长x（cm）与宽y（cm）之间的函数关系如图2所示：（1）求y与x之间的函数关系式；（2）“E”图案的面积是多少？（3）如果小矩形的长是6≤x≤12cm，求小矩形宽的范围。类型五：第22练11（1）设函数关系式为∵函数图象经过（10，2）∴∴k=20，∴（2）∵∴xy=20，∴（3）当x=6时，当x=12时，∵k=200，y随x增大而减小∴小矩形的长是6≤x≤12cm，小矩形宽的范围为xky102kxy20xy202162022162xySSE正310620y351220ycmy31035解：OxyACOxyDxyoOxyBD.____)0()1(.1图象的是在同一坐标系中的大致和如图能表示kxkyxkykkxyxky-)1(知识拓展：分类讨论知识拓展分类讨论MNMabbaaP1．反比例函数y＝kx中的kx是一个分式．．，所以自变量。考点一：反比例函数的定义一般地，形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数叫做。2．反比例函数解析式可以写成或(k是常数，k≠0)反比例函数X≠0xy＝ky＝kx-11、下列函数中哪些是反比例函数?y=3x-1y=2x2y=2x3y=x1y=3xy=32xy=13xy=x13kk22k)x(ky2、若函数12kxy是反比例函数，则K=____-2考题训练①②③④⑤⑥⑦⑧理由是：∵k+1=-1∴k=-2(2)k＜0时，如图②所示：图象(双曲线)的两个分支分别在第象限内，图象自左向右是上升的，在每一象限内，y随x的增大而考点二反比例函数的图象和性质1．反比例函数y＝kx(k≠0)的图象是因为x≠0，k≠0，相应地y值也不能为0，所以反比例函数的图象无限接近x轴和y轴，但与x轴、y轴双曲线永不相交2．反比例函数的图象和性质反比例函数y＝kx(k≠0)的图象总是关于原点成中心对称的，它的位置和性质受k的符号的影响．(1)k＞0时，如图①所示：图象(双曲线)的两个分支分别在第象限内，图象自左向右是下降的，在每一象限内，y随x的增大而减小二、四一、三增大例如：已知点A(-2,y1),B(-1,y2)都在反比例函数的图象上,则y1、y2与y3的大小关系(从大到小)为.x4yA(-2,y1),B(-1,y2),C(4,y3)yxo-1y1y2AB-24Cy3y3＞y1＞y21.函数的图象位于第象限,在每一象限内,y的值随x的增大而,当x＞0时,这部分图象位于第象限.x6y一、三减小一2.函数的图象位于第象限,在每一象限内,y的值随x的增大而,当x0时,这部分图象位于第象限.x6y二、四增大二考题训练考点三：反比例函数解析式的确定由于反比例函数的关系式中只有一个待定系数，因此只需已知一组对应变量的值就可以．待定系数法求解析式的步骤：①设出含有待定系数的函数解析式；②把已知条件代入解析式，得到关于待定系数的方程；③解方程求出待定系数．考题训练：如果点（4，3）在反比例函数图象上，试求反比例函数的解析式。解：设反比例函数的解析式为y=kx∵反比例函数y=kx的图象经过点A(4,3)，∴3＝k4.∴k=3×4=12,∴反比例函数的解析式为y＝12x.如图,点P是反比例函数图象上的一点,过点P分别向x轴、y轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这个反比例函数的解析式是.xyoMNpx3y解：设反比例函数的解析式为y=kx，∴反比例函数的解析式为y=-3x∵S矩形PMNO=3,∴|k|=3，∵函数图象在第二象限，∴K0,∴K=-3,1、（2010.广东清远）下列各点中，反比例函数y＝4x的图象上的是（）A（-1,4）B（1，-4）C（1,4）D（2,3）2、（2009.广东广州）已知函数y＝2x，当x=1时，y的值是3、（2009.广东清远）已知反比例函数y＝kx的图象经过点（2,3），则此函数的关系式是4、（2008.广东深圳）如图1所示，直线OA与反比例函数y＝kx（xo）的图象在第一象限交与A点，AB⊥x轴于点B，△OAB的面积为2，则k=5、（2010.广东广州）已知反比例函数y＝m-2x(m为常数)的图象经过点A（-1，6），则m6、(2010·台州)反比例函数y＝6x图象上有三个点(-2，y1)、(-1，y2)、(3，y3)，则y1、y2、y3的大小关系是()A．y1y2y3B．y2y1y3C．y3y1y2D．y3y2y1A