最新北师大版九年级数学下册第二章二次函数2.2二次函数的图象和性质第四课时

第二章二次函数北师大版数学九年级下册4.二次函数的图象和性质第四课时二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=a(x-h)2+k(a0)y=a(x-h)2+k(a0)（h，k）（h，k）直线x=h直线x=h由h和k的符号确定由h和k的符号确定向上向下当x=h时,最小值为k.当x=h时,最大值为k.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.根据图形填表：二次函数y=ax2+c的图象可以由y=ax2的图象当c0时向上平移|c|个单位得到.当c0时向下平移|c|个单位得到.上加下减一般地,由y=ax²的图象便可得到二次函数y=a(x-h)²+k的图象:y=a(x-h)²+k(a≠0)的图象可以看成y=ax²的图象先沿x轴整体左(右)平移|h|个单位(当h0时,向右平移;当h0时,向左平移),再沿对称轴整体上(下)平移|k|个单位(当k0时向上平移;当k0时,向下平移)得到的.左加右减上加下减顶点坐标呢？如何求其对称轴？）（二次函数）顶点坐标是（对称轴是二次函数0,)(22acbxaxykhhxkhxay用配方法求对称轴和顶点坐标提取二次项系数配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项友情提示:配方后的表达式通常称为配方式或顶点式7822xxy7)4(22xx78)4422xx（1)2(22x所以，对称轴是直线x=2，顶点坐标为（2，-1）随堂练习：1.用配方法求下列函数的对称轴和顶点坐标31222xxy3198052xxy)2)(212xxy（)9)(3(3xxy），（15-3;3x)1,8(;8x)89,45(;45x)875,43(;43x函数y=ax²+bx+c的顶点公式一般地,对于二次函数y=ax²+bx+c,我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标.cbxaxy2cxabxa2提取二次项系数cababxabxa22222配方:加上再减去一次项系数绝对值一半的平方整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项.a4bac4a2bxa22老师提示:这个结果通常称为求顶点坐标公式..a4bac4a2bxay22顶点坐标公式因此,二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线..a2bx:它的对称轴是直线.a4bac4,a2b2它的顶点是.a4bac4a2bxay22公式法：1382.12xxy;14-2.22xxy;263.32xxy)9)(33-.4xxy（根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：?），（3-1），（52），（1-1），（276-如图,两条钢缆具有相同的抛物线形状.按照图中的直角坐标系,左面的一条抛物线可以用y=0.0225x²+0.9x+10表示,而且左右两条抛物线关手y轴对称．⑴钢缆的最低点到桥面的距离是少？⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？⑶你是怎样计算的？与同伴交流.函数y=ax2+bx+c(a≠0)的应用y/mx/m桥面-5051010x9.0x0225.0y210x9.0x0225.0y2⑴.钢缆的最低点到桥面的距离是少？你是怎样计算的？与同伴交流.可以将函数y=0.0225x2+0.9x+10配方,求得顶点坐标,从而获得钢缆的最低点到桥面的距离;10400225.02xx102020400225.0222xx.120x0225.02.1,20是这条抛物线的顶点坐标.m1桥面的距离是由此可知桥面最低点到y/mx/m桥面-5051010x9.0x0225.0y2⑵两条钢缆最低点之间的距离是多少？你是怎样计算的？与同伴交流.想一想,你知道图中右面钢缆的表达式是什么吗?10x9.0x0225.0y2.120x0225.02:右边的钢缆的表达式为.120x0225.0y2.1,20:,其顶点坐标为因此.m402020距离为两条钢缆最低点之间的,y轴对称且左右两条钢缆关于.10x9.0x0225.0y2即.10x9.0x0225.0y2y/mx/m桥面-5051010x9.0x0225.0y2⑶你还有其它方法吗？与同伴交流.直接利用顶点坐标公式再计算一下上面问题中钢缆的最低点到桥面的距离以及两条钢缆最低点之间的距离．10x9.0x0225.0y2.10225.049.0100225.04a4bac422:a4bac4,a2b2得由顶点坐标公式,200225.029.0a2b.1,20是这条抛物线的顶点坐标.1,20:,为右边抛物线的顶点坐标同理.m402020距离为两条钢缆最低点之间的Y/mx/m桥面-5051010x9.0x0225.0y2.10x9.0x0225.0y2.m1到桥面的距离是由此可知桥面最低点1.将函数y=2x2的图象向左平移3个单位,然后将图象绕顶点在原坐标系内旋转1800,求旋转后图象对应的函数解析式.综合训练:2.抛物线y=ax2向左平移一个单位,再向下平移8个单位且y=ax2过点(1,2).则平移后的解析式为______________;y=-2(x+3)2y=2(x+1)2-83.将抛物线y=x2-6x+4如何移动才能得到y=x2.逆向思考,由y=x2-6x+4=(x-3)2-5知:先向左平移3个单位,再向上平移5个单位.请你总结函数函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质想一想,函数y=ax2+bx+c和y=ax2的图象之间的关系是什么？二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.根据图形填表：a4bac4,a2b2a4bac4,a2b2a2bx直线a2bx直线a4bac4,a2bx2最小值为时当a4bac4,a2bx2最大值为时当函数表达式开口方向对称轴顶点坐标2axycaxy22hxaycbxaxy2)0x(y直线轴)0,0()0x(y直线轴)c,0(hx直线)0,h(khxay2hx直线)k,h(a0,开口向上;a0,开口向下.a2bx直线a4bac4,a2b2小结：二次函数y=ax2+bx+c的系数a、b、c与图象的关系a决定图象的形状开口方向开口大小a越大图象开口越小a越小图象开口越大当a0时开口向上当a0时开口向下2.抛物线的图象开口最大的是()A.;B.y=-3x2;C.y=2x2;D.不确定;222x2y,x3y,x21y2x21yC1.函数y=ax2(a≠0)的图象与a的符号有关的是()A.对称轴;B.顶点坐标;C.开口方向;D.开口大小;A及时反馈：b影响对称轴的位置当b=0时，对称轴为.表达式是.当ab0时，对称轴在y轴.当ab0时，对称轴在y轴.y轴左侧右侧“同左异右”3.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则：a0,b0.＞＞y=ax2+cabx2对称轴：c确定图象与y轴的交点：（0，c)当c＝0时图象过.表达式是.当c0时图象与y轴半轴相交当c0时图象与y轴半轴相交原点正负y=ax2+bxxyo-4-3-2-112341234567892axyyo2axyxyo-4-3-2-11234123456789caxy22axycaxy2caxy2xyo-4-3-2-11234123456789bxaxy2xyo-4-3-2-112341234567892)hx(ay2)hx(ayxyo-4-3-2-11234123456789k)hx(ay2k)hx(ay2xyo-4-3-2-11234123456789cbxaxy2cbxaxy2cbxaxy2cbxaxy24.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，那么下列判断正确的是()A.a＞0，b＞0,c＞0B.a＞0,b＞0,c＜0C.a＞0，b＜0,c＞0D.a＞0，b＜0,c＜0D及时反馈5.二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则点M在()A.第一象限Ｂ.第二象限C.第三象限D.第四象限(,)bacB典型例题解析【例1】已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图3-4-6所示，下列结论①a+b+c＜0，②a-b+c＞0；③abc＞0；④b=2a中正确个数为()A.4个B.3个C.2个D.1个A当一枚火箭被竖直向上发射时,它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以用公式h=-5t²+150t+10表示,经过多长时间,火箭到达它的最高点？最高点的高度是多少？做一做P463跳水运动与抛物线某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线是经过原点O的一条抛物线.在跳某规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面32/3米,入水处距池边的距离为4米,同时,运动员在距水面高度为5米以前,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就会出现失误.(1)求这条抛物线的解析式；(2)在某次试跳中,测得运动员在空中运动路线是(1)中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为18/5米,问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由.你知道吗,平时我们在跳大绳时,绳甩到最高处的形状可以看为抛物线.如图所示,正在甩绳的甲乙两名学生拿绳的手间距为4米,距地面均为1米,学生丙丁分别站在距甲拿绳的手水平距离1米2.5米处,绳子到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是1.5米,求学生丁的身高？函数y=ax2+bx+c(a≠0)的应用甲乙丙丁